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Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure

Posté par
kamikaz 05-05-22 à 02:34

Bonsoir,

Merci d'avance.

Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure

1) Calculer la fonction de transfert T(j\omega)= \dfrac{V_s}{V_e} .

2- En déduire le Gain G(\omega),  la phase \varphi(\omega) et la pulsation de coupure \omega_c.

Réponses

1) La de transfert T(j\omega)= \dfrac{V_s}{V_e}

D'après la première equation qui entraine la matice de transfert T on a : V_e  = A V_s - B i_2

A = \dfrac{V_e}{V_s}_{i_2 = 0} = \dfrac{i_1 Z{R_1}+i_1 Z_C + i_1 Z_{R_2}}{i_1 Z_{R_2}} = \dfrac{Z{R_1}+ Z_C + Z_{R_2}}{ Z_{R_2}} = \dfrac{jc \omega (R_1 + R_2)}{R_2}

Donc  T(j\omega)= \dfrac{V_s}{V_e} = \dfrac{R_2}{jc \omega (R_1 + R_2)}

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 10:02

Bonjour

Puisque i2=0, la notion de diviseur de tension donne directement le résultat :

\underline{T}=\frac{Z_{R2}}{Z_{R1}+Z_{R2}+Z_{C}}=\frac{R_{2}}{R_{2}+R_{1}+\frac{1}{jC.\omega}}

Expression bien sûr à simplifier pour faire apparaître un ”1” au dénominateur...

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 10:15

Je ne comprends pas.. pour la phase je trouve \pi/2 pour la pulsation de coupure je ne vois pas comment faire..

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 10:34

Quelle est ton expression normalisée de la fonction de transfert ? De quel type de filtre s'agit-il ?

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 19:48

Il s'agit d'un filtre passe haut.

La fonction de transfert est : \underline{T}(j\omega) = \dfrac{\underline{v_s}}{\underline{v_1}}

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 19:49

Filtre passe-haut parce qu'il y un circuit RC dans le montage.

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 21:00

Il s'agit effectivement d'un passe -haut du premier ordre. Ta justification est tout de même un peu courte car les filtres passe-bas utilisent aussi R et C. Un peu plus de détails ici :

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 21:05

D'accord

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 21:21

Mais je ne vois pas vraiment la definition complète à part les différentes formules..

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 21:44

Le gain G(\omega) = \left|\underline{T}\right| = \left|\dfrac{jC\omega}{1 + jC\omega(R_1+R_2)}\right| dans le document que vous avez donner on a la formule du gain en décibel G_{dB}(\omega)  = 20 \log(\underline{T}) et je ne saurais calculer le log d'un complexe.

Pour la phase \varphi = \arg(\underline{T}(j\omega))

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 22:36

Pour un filtre passe haut, la pulsation de coupure \omega_c = \omega_0 = \dfrac{1}{RC}

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 23:06

Citation :
Mais je ne vois pas vraiment la definition complète à part les différentes formules

Tu peux effectivement déduire la nature des filtres de la fonction de transfert. Sinon, tu peux simplement raisonner sur les schémas équivalents à très basse et très haute fréquence. Sachant que Zc=1/(C.) :
\lim_{\omega\rightarrow0}Z_{c}=\infty : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à très basse fréquence et en continu ;

\lim_{\omega\rightarrow\infty}Z_{c}=0 : le condensateur se comporte comme un simple fil conducteur de résistance nulle (interrupteur fermé) à très haute fréquence.

Pour ce circuit à très basse fréquence : remplacer C par un interrupteur ouvert interdit tout courant dans R2 : Vs=0, T=0.

Pour ce circuit à très haute fréquence : remplacer C par un interrupteur fermé conduit à un diviseur de tension : T=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} .

On voit bien que le filtre laisse passer les signaux hautes fréquences en coupant les signaux très basses fréquences ; le filtre est donc un passe-haut.

Sinon, pour la forme normalisée (ou canonique) de la fonction de transfert :

\underline{T}=\dfrac{R_{2}}{R_{2}+R_{1}+\frac{1}{jC.\omega}}=\dfrac{\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}{1+\frac{1}{j\left(R_{1}+R_{2}\right)C\omega}}=\dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}\cdot\dfrac{j\left(R_{1}+R_{2}\right)C\omega}{1+j\left(R_{1}+R_{2}\right)C\omega}

On obtient bien la fonction de transfert d'un filtre passe-haut du premier ordre donc la forme normalisée (canonique) est :

\underline{T}=T_{o}\cdot\dfrac{j\frac{\omega}{\omega_{o}}}{1+j\frac{\omega}{\omega_{o}}}

Je te laisse, par identification, trouver To et la pulsation de coupure.

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 23:12

T_0 = \dfrac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}}

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 23:23

Oui pour To. o ?

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 05-05-22 à 23:26

\omega_0 = \dfrac{1}{R_{1}+R_{2}}

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 13:51

Comment trouver la phase ?

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 14:06

Pour la phase :
\varphi=\arg\left(\underline{T}\right)
Je te rappelle que l'argument d'un quotient est la différence des arguments du numérateur et du dénominateur.

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 15:41

Pour t'aider un peu, voici le diagramme de Bode dans le cas particulier R1=R2. Pour plus de généralités, j'ai porté en abscisse la pulsation réduite x=/o

Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:01

Ok mais le faites avec quel logiciel ?

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:11

\varphi = \dfrac{\pi}{2} -  \arg(1+jC\omega(R_1+R_2))

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:26

Oui ; ou encore, pour alléger les notations :

\varphi=\frac{\pi}{2}-\arg\left(1+j.x\right) avec : x=\left(R_{1}+R_{2}\right).C.\omega=\frac{\omega}{\omega_{o}}

Pour justifier l'allure du diagramme, tu peux te contenter de trois renseignements :

1° : asymptote basse fréquence : \lim_{x\rightarrow0}\varphi=????

2° : asymptote haute fréquence : \lim_{x\rightarrow\infty}\varphi=????

3° : valeur de la phase à la pulsation propre ; valeur de \varphi pour \omega=\omega_{o} ???

Avec ces renseignements, on peut tracer à main lever l'allure de la courbe. Tous ces renseignements sont sur la courbe précédente...

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:42

1) \lim_{x\rightarrow0}\varphi= \dfrac{\pi}{2}

2) \lim_{x\rightarrow\infty}\varphi= 0

3) Pour \omega_0 = \omega on a : \varphi = \dfrac{\pi}{4}

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:49

Ok je vois très bien.

Est-ce que c'est la même démarche pour les autres formes ?

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 17:58

C'est effectivement la même démarche pour tous les types de filtres.

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 18:17

kamikaz @ 06-05-2022 à 17:01

Ok mais le faites avec quel logiciel ?

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 18:32

ici, j'ai programmé les courbes sous Python. Il existe aussi des logiciels de simulation de circuits comme LTspice par exemple.

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 18:38

Ah d'accord, pour le moment j'ai un DS demain. (Peut-être pourriez vous m'en dire plus car j'utilise python aussi.)

Mais j'ai pas compris la méthode pour déterminer la nature du filtre et comment çà se passe de façon générale ?

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 18:40

Citation :
Ah d'accord, pour le moment j'ai un DS demain. (Peut-être pourriez vous m'en dire plus car j'utilise python aussi.)
Je passerai demain soir si vous êtes disponible..

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 18:54

Citation :
déterminer la nature du filtre et comment çà se passe de façon générale ?

La méthode consistant à représenter le circuit équivalent à très basse fréquence puis très haute fréquence est absolument générale et permet de s'auto-vérifier. Si on prévoit un passe haut, il ne faut pas obtenir le diagramme de Bode d'un passe bas !
La méthode s'applique aussi aux inductances mais là : ZL=L. : une bobine est-donc équivalente à un interrupteur fermé (simple fil conducteur) à très basse fréquence (0) et à un interrupteur ouvert à très haute fréquence (); l'inverse du cas du condensateur.

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 06-05-22 à 19:25

Ok çà marche.

Merci beaucoup

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 03:28

Salut,

Citation :
Sachant que Zc=1/(C.) :
\lim_{\omega\rightarrow0}Z_{c}=\infty : le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert à très basse fréquence et en continu ;

\lim_{\omega\rightarrow\infty}Z_{c}=0 : le condensateur se comporte comme un simple fil conducteur de résistance nulle (interrupteur fermé) à très haute fréquence.

Pour ce circuit à très basse fréquence : remplacer C par un interrupteur ouvert interdit tout courant dans R2 : Vs=0, T=0.

Pour ce circuit à très haute fréquence : remplacer C par un interrupteur fermé conduit à un diviseur de tension : T=\frac{R_{2}}{R_{1}+R_{2}} .

On voit bien que le filtre laisse passer les signaux hautes fréquences en coupant les signaux très basses fréquences ; le filtre est donc un passe-haut.


Supposons qu'on avait C à la place de R2 comment rédigerait on ?

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 03:29

Comment faites vous pour programmer les courbes avec python ?

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 10:15

Très basse fréquence : C se comporte en interrupteur ouvert ; les résistance ne provoquent plus de chute de tension : Vs=Ve.
Très haute fréquence : C se comporte comme un interrupteur fermé (un simple fil conducteur) ; la tension à ses bornes est nulle : Vs=0;
Conclusion : tu obtiens un filtre passe-bas.

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 23:08

Voici un exemple de programme Python facile à adapter à d'autres types de filtres. N'hésite pas à poser des questions sur ce que tu ne comprends pas.

pdf
PDF - 17 Ko

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 23:18

Comment faites vous pour visualiser la courbe ?

Car lorsque je lance j'ai ceci : 

Traceback (most recent call last):
  File "<string>", line 3, in <module>
ModuleNotFoundError: No module named 'matplotlib'
>

Posté par
kamikazre : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 10-05-22 à 23:52

Ah je vois, il fallait l'exécuter dans matplotlib.pyplot

Posté par
vanoisere : Fonction de transfert, Gain, phase et pulsation de coupure 11-05-22 à 10:49

Oui. La troisième ligne du programme importe effectivement ce module.


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