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Flux de chaleur : Equation différentielle.
Bonjour à tous,
Je bloque sur une des questions d'un de mes TD. On sait que le flux de chaleur Q = - k dT/dz (où dT/dz est le gradient thermique selon z, nous sommes dans un cas à une dimension). k est la conductivité thermique, constante.
Je dois, à partir de l'équation de la chaleur, i.e. dT/dt = alpha d²T/dz² (où alpha est la diffusivité thermique), déduire l'équation différentielle gouvernant les variations du flux de chaleur Q dans le temps et l'espace (donc faire apparaitre dQ/dt et dQ/dz).
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D'apres la définition du flux de chaleur Q = - k dT/dz, si on dérive par rapport à z, on obtient dQ/dz = - k d²T/dz² que je peux remplacer dans l'équation de la chaleur j'ai donc :
dT/dt = - alpha/k * dQ/dz.
jusque là, c'est bon.
Pour faire apparaitre dQ/dt, je ne vois que exprimer T en fonction de Q et ensuite dériver.
On a dT/dz = - Q/k donc T(z) = -Q*z/k + cte.
Problème! dT/dz est une dérivée partielle, on est donc à t constant. Est-ce plus judicieux d'écrire que la constante dépend alors du temps ?
T(z,t) = -Q*z/k + cte(t);
Je ne suis toujours pas convaincus de ma méthode. Cela nous donnerait :
dT/dt (à z constant) = - z/k * dQ/dt + cte'(t)
Et finalement pour l'équation :
dQ/dt = alpha/z dQ/dz pour la version T(z).
dQ/dt = alpha/z dQ/dz + f(t,z) pour la version T(z,t), avec f(z,t) = - cte'(t)*k/z.
Voila j'ai besoin de votre aide! Ce n'est surement pas une question très difficile mais elle me bloque pour la suite de mon TD.
Merci par avance de votre aide 
salut
effectivement intégrer des équa diff partielles c'est pas facile facile,
on n'a pas tout ton énoncé mais il semble qu'on te demandé juste l'équa diff et pas sa résolution en Q ?
Généralement on résoud plutôt l'équation de la chaleur en T et on utilise la loi de Fourier pour en déduire Q
Merci de ton intérêt pour ce problème. L'intitulé exacte de la question est le suivant :
Le flux de chaleur, noté Q, peut être calculé à partir du champ de température (on rappelle que Q = - k dT/dz (dT/dz est une dérivée partielle ici...)).
On suppose que la conductivité thermique k est constante.
Utilisez l'équation de la chaleur pour en déduire l'équation différentielle gouvernant les variations du flux de chaleur dans le temps et l'espace.
Nous devons donc partir de dT/dt = alpha d²T/dz², avec alpha la diffusivité thermique, pour en déduire une équation différentielle avec dQ/dt et dQ/dz je pense.
En effet, on travail généralement avec l'équation de la chaleur mais dans notre TD nous nous interessons à l'évolution du flux de chaleur, donc par la suite à la résolution de cette équation.
Mon problème dans cette question est le passage de dT/dt a un terme dépendant du flux de chaleur Q. Je pense pas être loin de la vérité mais je bloque...
il suffit de faire dQ/dt = -k d²T / (dt.dz)
c'est à dire une dérivée selon t puis selon z (ou l'inverse, c'est permis par le théorème de Schwartz)
Merci! J'avais envisagé cela au début mais ne voyais pas où ça m'emmenais...
Si je repars de l'équation de la chaleur : dT/dt = alpha d²T/dz² et que je la dérive par rapport à z :
d²T/(dt.dz) = alpha d^3T/dz^3.
D'après ce que tu m'as dis : d²T/(dt.dz) = - 1/k * dQ/dt,
et d'apres la définition de Q, on a d²Q/dz² = - k d^3T/dz^3
En remplacant, on retrouve donc :
dQ/dt = alpha d²Q/dz²
Il me semble que c'est ce que l'on devait trouver, l'équation pour le flux étant la même que pour la température.
Merci encore pour ton aide 
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