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[*FINI*] Appel à correction pour ces exercices de cinématique

Posté par
gbm Webmaster 01-02-20 à 19:22

Bonsoir à tous,

Nous poursuivons notre solde des reliquats de contributions soumises depuis un bout de temps.

Aujourd'hui, je vous soumets une proposition d'exercices de cinématique du point matériel : Cinématique du point matériel

Le contributeur n'a malheureusement pas proposé de corrections à ces trois exercices.

Est-ce que l'un de vous aurait un peu de temps pour nous la proposer ici, afin qu'on puisse l'ajouter ?

PS : nous sommes actuellement pris par la rédaction/mise à jour des fiches en 2nde/1ère, ainsi que la relecture d'une fiche soumise en post-bac, raison pour laquelle nous faisons appel à vous !

Posté par
diracre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 04-02-20 à 19:00

Je m'y colle ce soir

Posté par
gbm Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 04-02-20 à 19:26

Salut dirac,

Super ! Merci beaucoup !

Concernant la proposition de correction, tu la fais à ta sauce ici (Latex, présentation, etc.) et je me chargerai de la coller dans la fiche

Posté par
diracre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 05:46

exercice 1. Équations horaires et trajectoire

Les équations horaires du mouvement d'un point matériel tiré dans l'espace sont : \left\lbrace\begin{array}l x(t)= 2t \\ y(t) = 0 \\ z(t) = -5t^2 + 4t \end{array}

Toutes les unités sont dans le système international SI.

1.Trouver l'équation cartésienne de la trajectoire.
2. A quoi correspond-elle ?
3. Écrire l'expression du vecteur position au temps t = 2 ~ s.

CORRIGE:

1. Etablir l'équation cartésienne de la trajectoire:

Il s'agit d'établir, en éliminant le paramètre temps, la relation (ou les relations) associant les coordonnées cartésiennes du mobile M

On remarque tout d'abord qu'à tout instant y=0, la trajectoire de M se situe dans le plan xOz, l'équation cartésienne va relier x et z

x(t)= 2t  \Rightarrow t = \frac{1}{2}x

Reste à substituer t dans l'autre équation

z(t) = -5t^2 + 4t = -5( \frac{1}{2}x)^2 + 4( \frac{1}{2}x) = -\frac{5}{4}x^2+2x

Il faut également se poser la question de l'intervalle de variation de l'abscisse x du mobile. Supposons que le mouvement soit étudié pour: t \in [0, 30 s] pendant cet intervalle de temps, x varie de 0 à 60 m.

L'équation cartésienne de la trajectoire est donc

\left\lbrace\begin{array}l y = 0 \\ z = -\frac{5}{4}x^2+2x\end{array}    x \in [0 m ; 60 m]

2. z(x) est un polynôme du 2nd degré en x: la trajectoire est donc parabolique, son axe (de symétrie) ayant la direction de Oz

3. Position du mobile à t = 2 s

\vec{OM} \begin{pmatrix} \\ x(t=2) \\y(t=2) \\z(t=2) \\ \\ \end{pmatrix}       soit    \vec{OM} \begin{pmatrix} \\ 4 \\ 0 \\-12 \\ \\ \end{pmatrix}



exercice 2. Vitesse et accélération d'un mouvement rectiligne

Le mouvement (dans une seule direction) d'un point est défini par l'équation horaire :

s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12 t + 1

a. Calculer la vitesse et l'accélération à la date t.
b. Étudier le mouvement du point lorsque t croît de 0 à + \infty (expliquer dans quel sens se déplace le point et si le mouvement est accéléré ou retardé).


CORRIGE:

On commence par bien prendre note que le mouvement se fait "dans une seule direction": la trajectoire est donc rectiligne:

\vec{OM},  \vec{v}  et  \vec{a}   sont portés par la même direction

v(t) = \frac{ds}{dt}   et   a(t) = \frac{dv}{dt}  = \frac{d^2s}{dt^2} \\

Soit en dérivant 2 fois s(t):

v(t) = 6t^2 - 18t +12   

a(t) = 12t - 18

L'étude de ce mouvement dont on sait qu'il est rectiligne, va consister à déterminer dans quel sens se déplace le mobile (c'est le signe de la vitesse qui va nous le dire) et à savoir quand il accélère (accélération positive) et quand il décélère (accélération négative)


v(t) = 6t^2 - 18t +12 = 6(t-1)(t-2)

a(t) = 12t - 18 = 6(2t-3)

\begin{array}{|c|ccccccccc|}{t&0&&1&&1,5&&2&&+\infty\\{v(t)}&&+&0&-&&-&0&+&\\{a(t)}&&-&&-&0&+&&+&&\end{array}

Le mouvement se décompose en 4 phase:

- entre 0 et 1 s: le mobile se déplace d'un sens en décélérant (vecteurs vitesse et accélération ont des sens opposés). A t = 1 s sa vitesse devient nulle
- entre 1 s et 1,5 s: le mobile se déplace dans l'autre sens en accélérant (vecteurs vitesse et accélération ont même sens) . A t = 1,5 s son accélération devient nulle
- entre 1,5s et 2 s: le mobile poursuit dans le même sens en décélérant cette fois. A t = 2 s sa vitesse s'annule à nouveau
- ensuite, le mobile répare dans le sens initial, en accélérant indéfiniment


exercice 3: Mouvement curviligne

Dans un repère orthonormé (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}), le mouvement d'un mobile M est défini par les équations suivantes: \left\lbrace\begin{array}l x(t) = t^3 - 3t \\ y(t) = -3t^2 \\ z(t) = t^3 + 3t \end{array}

a.Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur vitesse \vec{v} et celles du vecteur accélération \vec{\gamma} du mobile M.
b.Calculer la norme du vecteur \vec{v} et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec (Oz)

CORRIGE

\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt} \left\lbrace\begin{array}l \dot{x}(t) = 3t^2 - 3 \\ \dot{y}(t) = -6t \\ \dot{z}(t) =3 t^2 + 3 \end{array}

\vec{\gamma}= \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2} \left\lbrace\begin{array}l \ddot{x}(t) = 6t  \\ \ddot{y}(t) = -6 \\ \ddot{z}(t) =6 t \end{array}

v^2 = \dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2 = (9t^4-18t^2+9) + (36t^2) + (9t^4+18t^2+9)=18(t^4+2t^2+1)= 18(t^2+1)^2

donc v = 3\sqrt{2}(t^2+1)

Pour montrer  que \vec{v} fait un angle constant avec \vec{k}, vecteur unitaire de la direction (Oz), on calcule le produit scalaire entre ces deux vecteurs:

\vec{v}.\vec{k} = \dot{x}\times 0 + \dot{y}\times 0 + \dot{z}\times 1 = 3t^2+3=3(t^2+1)

Or  \vec{v}.\vec{k} = \left\|\vec{v}\right\|.\left\|\vec{k}\right\|.cos(\widehat{\vec{v},\vec{k}})=3\sqrt{2}(t^2+1)cos(\widehat{\vec{v},\vec{k}})

En rapprochant les 2 expressions du produit scalaire:

3\sqrt{2}(t^2+1)cos(\widehat{\vec{v},\vec{k}}) = 3(t^2+1)

Donc: cos(\widehat{\vec{v},\vec{k}}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Le cosinus de l'angle entre les 2 vecteurs est constant dans le temps:  \vec{v} fait un angle constant avec (Oz), qui vaut 45° d'ailleurs

Posté par
gbm Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 08:56

Salut dirac, je te remercie pour cette correction bien fournie et matinale .

J'ai déjà inséré celle-ci dans la fiche, il me reste un problème de génération du pdf à résoudre ...

Bon WE !

Posté par
mmalou Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 09:28

hello
je viens d'aller voir le log
il doit y avoir quelque chose de non supporté autour de la ligne 160 du fichier tex (de la correction, je précise < edit)
\kern
l.160 ...\\ Donc : $ cos(\widehat{\vec{v},\vec{k}}
) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
qui ne correspond pas au n° de ligne du fichier sur notre interface
je pense qu'il faut chercher là

reedit > bizarre, c'est la dernière ligne
bon là pas trop le temps, mais si tu n'a ps trouvé d'ici là, j'y reviens un peu plus tard

Posté par
mmalou Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 12:29

j'ai l'impression qu'il ne supportait pas \left| et right| pour les normes
(j'ai fait un test ailleurs, et bug dans le pdf)
je les ai supprimés
mais il y a encore un souci
je continue cet AM !

Posté par
mmalou Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 13:59

le \ddot n'est pas supporté (dans la formule des composantes de gamma à l'exo 3)
edit > moi je n'ai jamais cette notation à utiliser, comment la contourner ?

\ddot{x}
ici ça fonctionne; à l'écran aussi, mais le pdf ne passe pas

que puis-je écrire à la place pour tester si c'est bien ça ?

et d'autres choses encore derrière non supportées manifestement grrrr

Posté par
diracre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 14:30

Ooopppsss   et moi qui voulait rendre service... vous passez plus de temps à débugger que j'en ai passé à rédiger le corrigé. Si je peux aider à remettre en forme, indiquez moi la démarche pour constater les erreurs

Posté par
mmalou Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 15:05

pas de souci, dirac
l'interface est très capricieuse, cela dépend des paquets qui ont été chargés initialement

peux-tu me donner une autre rédaction pour les coordonnées de gamma ? vu que le \ddot n'est pas supporté
je sais que j'ai eu un jour aussi des soucis de manière aléatoire avec le widehat...je vais voir...

Posté par
diracre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 16:48

Si je comprends bien, c'est sur l'exercice 3 que ça tousse:

Le voici "reformulé", en espérant que cela permettra l'export pdf

exercice 3: Mouvement curviligne

Dans un repère orthonormé  (O,\vec{i},\vec{j},\vec{k}), le mouvement d'un mobile M est défini par les équations suivantes: \left\lbrace\begin{array}l x(t) = t^3 - 3t \\ y(t) = -3t^2 \\ z(t) = t^3 + 3t \end{array}

a.Calculer les coordonnées à la date t, du vecteur vitesse \vec{v} et celles du vecteur accélération \vec{\gamma} du mobile M.
b.Calculer la norme du vecteur \vec{v} et montrer que ce vecteur fait un angle constant avec (Oz)

CORRIGE

\vec{v} = \frac{d\vec{OM}}{dt}  \left\lbrace\begin{array}l \frac{dx}{dt}(t) = 3t^2 - 3 \\ \frac{dy}{dt}(t) = -6t \\ \frac{dz}{dt}(t) =3 t^2 + 3 \end{array}

\vec{\gamma}= \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d^2\vec{OM}}{dt^2}  \left\lbrace\begin{array}l \frac{d^2x}{dt^2}(t) = 6t  \\ \frac{d^2y}{dt^2}(t) = -6 \\ \frac{d^2z}{dt^2}(t) =6 t \end{array} \\

v^2 =( \frac{dx}{dt}(t))^2+(\frac{dy}{dt}(t))^2+(\frac{dz}{dt}(t))^2 = (9t^4-18t^2+9) + (36t^2) + (9t^4+18t^2+9)=18(t^4+2t^2+1)= 18(t^2+1)^2

donc v = 3\sqrt{2}(t^2+1)

Pour montrer  que \vec{v} fait un angle constant avec \vec{k}, vecteur unitaire de la direction (Oz), on calcule le produit scalaire entre ces deux vecteurs:

\vec{v}.\vec{k} = \frac{dx}{dt}(t)\times 0 + \frac{dx}{dt}(t)\times 0 + \frac{dx}{dt}(t)\times 1 = 3t^2+3=3(t^2+1)

Or, en appelant   \alpha   l'angle   \widehat{\vec{v},\vec{k}}

\vec{v}.\vec{k} = |\vec{v}|.|\vec{k}|.cos\alpha=3\sqrt{2}(t^2+1)cos\alpha

En rapprochant les 2 expressions du produit scalaire:

3\sqrt{2}(t^2+1)cos\alpha = 3(t^2+1)

Donc: cos\alpha = \frac{\sqrt{2}}{2}

Le cosinus de l'angle entre les 2 vecteurs est constant dans le temps:  \vec{v} fait un angle constant avec (Oz), qui vaut 45° d'ailleurs

Posté par
mmalou Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 08-02-20 à 17:17

merci dirac ! pour tout ce travail
nous allons garder tous ces codes précieusement, mais j'ai comme l'impression que l'interface est fort capricieuse...le \ddot une fois refusé ici, était accepté dans une fiche test
une ligne acceptée ailleurs était refusée dans ce fichier...
à n'y rien comprendre

j'ai fini par employer les grands moyens...j'étais arrivée à quelque chose de correct...j'en ai fait une image, et le pdf est passé !

Posté par
gbm Webmasterre : [FICHE] Appel à correction pour ces exercices de cinématiqu 09-02-20 à 08:50

Salut à vous deux,

Je n'ai pas pu me reconnecter depuis hier matin, je vois que ça n'a pas chômé en mon absence, merci à vous deux .

@dirac : ne t'inquiète pas, on avait également galéré avec d'autres fiches, ce n'est pas la première, ce ne sera sûrement pas la dernière !

Posté par
mmalou Webmasterre : [*FINI*] Appel à correction pour ces exercices de cinématiq 09-02-20 à 09:06

Bonjour gbm
oui, je crois que sur ce coup là, c'est vraiment notre interface qui est en cause...
j'ai mis en pratique tous les remèdes possibles, et je m'apercevais que ce qui pouvait être admis dans un fichier test, ne l'était pas sur celui-ci et vice versa...ce n'est pas normal
J'ai déjà eu ça en maths...j'annonce le \ddot ne passe pas, et quelques heures plus tard il passe...etc...
En maths j'ai eu un fichier OK, et dès qu'on lui ajoutait une seule lettre, il buggait...on s'y était mis à 2 pour trouver le problème....rien ....j'avais fini par faire une image de la fin aussi pour le terminer...

Posté par
gbm Webmasterre : [*FINI*] Appel à correction pour ces exercices de cinématiq 09-02-20 à 09:10

OK, il faudrait voir ça avec Pascal parce que \ddot est une notation beaucoup utilisée en physique dès la terminale.


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