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Filtre de Wien : probléme d'équation différentiel
Bonjour à tous , voila j'ai un problème pour établir mon équation différentiel car je ne sais pas comment exprimer UC1 en fonction de s(t), je m'explique ... :
(Schéma en dessous)
Loi des Mailles
(1) e(t) = UC1 + UR1 + UR2
(2) e(t) = UC1 + UR1 + UC2
(3) UR2 = UC2 = s(t)
Loi des Noeuds
i = i1 + i2
Après on me demande d'établir une équation différentielle qui admet pour solution s(t) donc je pars de l'équation (1) :
e(t) = UC1 + UR1 + UC2
e(t) = UC1 + R1 x i + s(t)
e(t) = UC1 + R1 x (i1+i2) + s(t)
e(t) = UC1 + R1 x (C(dUC2)/dt + UR2/R2) + s(t)
e(t) = UC1 + R1 x (Cds(t)/dt + s(t)/R2) + s(t)
Mais bon après, je n'arrive pas du tout à exprimer UC1 en fonction de s(t)! Tout ce que je sais c'est que i = d(UC1)/dt
Donc voila si quelqu'un peut me donner une piste ou me dire si je suis sur la mauvaise voie, n'hésitez pas ! ^^
MarvinSith
En faites... j'ai trouvé tout seul , suffisait de faire une petite "astuce", je m'explique :
e(t) = UC1 + R1 x (Cds(t)/dt + s(t)/R2) + s(t)
Je développe encore un peu, on a :
e(t) = UC1 + R1C x d(UC2)/dt + (R1 x UR2)/R2 + UC2
A partir d'ici , le UC1 m'embête donc vu que i = C(dUC1)/dt , je multiplie tout par d/dt donc on a :
de(t)/dt = d(UC1)/dt + R1C x d²(s(t))/dt² + (R1/R2)x(ds(t))/dt + d(s(t)/dt
= i/C + R1C x (d²s(t))/dt² + (R1/R2) x (ds(t))/dt + (ds(t))/dt
= (i1 + i2)/C + R1C x (d²s(t))/dt² + (R1/R2) x (ds(t))/dt + (ds(t))/dt
= (C x d(s(t))/dt + UR2/R2)C + R1C x (d²s(t))/dt² + (R1/R2) x (ds(t))/dt + (ds(t))/dt
= (ds(t))/dt + s(t)/(R2C) + R1C x (d²s(t))/dt² + (R1/R2) x (ds(t))/dt + (ds(t))/dt ((UR2=s(t)) )
or dans mon énoncé , R1=R2=R donc :
de(t)/dt = RC x (d²s(t))/dt² + 3(ds(t))/dt + s(t)/(RC)
Je pose RC =
, alors :
de(t)/dt =
(d²s(t))/dt² + 3(ds(t))/dt + s(t)/
Voila, désolé pour le dérangement ^^
Salut,
un autre moyen de trouver le résultat, est de partir de la fonction de transfert du filtre (+ facile) et de revenir en domaine temporel
Hum je profite pour poser un autre problème , la je n'y arrive pas, c'est de déterminer s(t) :
- J'ai démontré que le facteur de qualité vaut 1/3 donc on est en régime sous-critique
- Vu que e(t) est une constante, de(t)/dt = 0 donc on peut écrire l'équation autrement :
d²s(t)/dt² + (
0/Q0) x ds(t)/dt + 0² x s(t) = 0
r² + (0/Q0)r + 0² = 0
Vu que le facteur de qualité Q0 = 1/3 , on a 
>0 donc la solution est :
s(t) = C1er1t + C2er2t (avec r1 et r2 les solutions de l'équation)
Après on me demande d'établir les 2 conditions initiales de s(t) sachant qu'on me dit que :
Le générateur e(t) impose une tension e0 si t
0, nulle sinon.Donc s(t=0-)=s(t=0+) = 0 car le condensateur n'est pas chargé et la tension est continue
i2(t) = C*ds(t)/dt or s(t=O) = O donc i2(t) = O
Mais bon la je bloque complètement , avec s(t=O) j'ai C1 = -C2 et avec l'intensité je trouve quelque chose d'incohérent...
Me serais-je trompé sur mes conditions initiales?
Je viens d'apprendre que l'intensité au borne d'un condensateur n'est pas continue... donc la je ne sais pas du tout comment faire!
Quelqu'un pourrais m'aider ou à une idée ?
Bonsoir,
Je pense qu'il faut procéder ainsi :
s(t) = K1 er1t + K2 er2t
(je mets K au lieu de C pour ne pas confondre avec les condensateurs)
Il y a deux inconnues K1 et K2.
Donc il faut deux équations sur les conditions initiales.
La première est effectivement s(t) = 0.
La deuxième porte sur le courant initial.
Au début, les condensateurs ne sont pas chargés donc i(0) = e0 / R1 = e0 / R.
D'autre part, s(t) = UC2(t) et i = C dUC2(t) / dt ==> dUC2(t) / dt = ds(t) / dt = i / C
==> (ds(t) / dt)t=0 = i(0) / C
Au départ, il n'y a pas de courant dans R2 parce que s(t) = 0 donc tout le courant initial est dans C2.
J'espère avoir été clair...
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