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Extraction d'un tube cylindrique sous pression

Posté par
guillaume628 07-07-20 à 20:16

Bonjour,

J'ai un exercice de mécanique à résoudre et je ne vois pas par ou commencer, si vous pouvez m'aider à y voir plus clair, voilà l'énoncé :

Un tube cylindrique d'axe 0z3, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b, limité par deux sections droites S2' et S2 d'équations x3 = -l/2 et x3 = l/2 est constitué d'un matériau élastique linéaire, homogène isotrope.

Les forces de volume sont supposées être négligeables. La surface latérale extérieure du tube S1 d'équation r = b est maintenue fixe. Les sections droites S2' et S2 sont soumises à une densité d'efforts surfaciques telle que le torseur des efforts sur chacunes des deux couronnes soit nul.

On veut extraire le bouchon en exerçant sur la surface latérale intérieure un effort tangentiel uniformément réparti de densité surfacique (1/(2Pi a l)) F e3  où F est une constante positive donnée.

(Je mets les schéma en PJ)

Concernant les questions :

1. Ecrire les équations et conditions aux limites du problème.

2. Montrer que un champ de déplacement u solution du problème doit nécessairement satisfaire l'équation de Navier.

3. On recherche un champ de déplacements solution de ce problème sous la forme : u = g(r) ē3. Expliciter l'équation différentielle que doit satisfaire la fonction g(r).

4. Intégrer cette équation et achever la résolution du problème.

5. En quels points du bouchon la contrainte tangentielle maximale atteint-elle sa valeur maximale. Préciser les directions n associées.

6. On suppose que la condition d'adhésion le long de (S1 : r = b) est vérifiée tant que :      | FT|max < t*, en r = b, t*  constante donnée > 0, (i.e. le bouchon glisse le long de cette paroi dès que l'égalité est atteinte ). Calculer l'effort minimum Fm que l'on doit exercer pour pouvoir extraire le bouchon.

Extraction d\'un tube cylindrique sous pression

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 06:44

Citation :
je ne vois pas par où commencer


Le texte est guidé, il faut prendre les questions une à une, l'équation est même donnée (Navier).

1- CL : je suppose que le tube est rigide (et de plus on suppose l'adhésion), comment traduire cela ? Pour la partie hors tube, le bouchon est libre, comment traduire cela ?
Par contre, pour les équations, je ne comprends pas trop puisque Navier arrive en 2).
2- Il faut vérifier que les conditions pour appliquer Navier sont satisfaites,  ou démontrer Navier, et dans ce cas 1) a un sens : il faut repartir des équations de base.
3- calcul
4- idem
5- étude de fonction

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 19:19

Merci pour la réponse, mais je suis vraiment débutant en mécanique des solides, j'en ai jamais fait, donc c'est un peu compliqué pour moi.

Pour les conditions limites, je dirais :
- Forces de volume = 0 (dit dans l'énnoncé)
- Pour les forces surfaciques : -> pour r=a , Fs = Pa * ēr ; pour r=b, Fs = Pb * ēr
- Et Fs(x1) = Fs(x2) = 0

Je sais pas si ca te semble correct pour la première question ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 20:52

Bonjour,

L'équation de Navier concerne les déplacements, les CL doivent donc porter sur les déplacements.
On se place à la limite d'adhésion, donc pas de déplacement selon u_z et u_\theta,  le tube est rigide (à ce que je comprends), donc pas de déplacement selon u_r.
L'équation de Navier étant d'ordre 2, il faut aussi une condition sur la dérivée, c'est là que les forces tangentielles vont intervenir.
Les forces de volume sont bien nulles, mais ce n'est une condition aux limites, qui comme son nom l'indique concerne les "bords".
Si l'étude est celle du bouchon, la condition en r=b n'intervient pas, de plus on ne connait pas Pb. Les forces surfaciques sont axiales (selon z=x3 du texte).
Je n'ai pas trop compris : on étudie le bouchon, le tube, les deux ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 21:01

D'accord, merci. Par contre je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas de déplacement selon Ur, justement pour moi U=Ur(r) ēr
Comment fait-on pour faire intervenir les forces tangentielles ?

On étudie le bouchon

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 21:46

Voilà ou j'en suis, après je me demande si il ne faut pas prendre en compte une force en z sachant que l'on cherche à lever le bouchon, donc faut-il la prendre maintenant ou d'abord faire l'étude avec le bouchon à l'équilibre ?

Extraction d\'un tube cylindrique sous pression

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 22:48

Citation :
Par contre je ne comprends pas pourquoi il n'y a pas de déplacement selon Ur, justement pour moi U=Ur(r) ēr

Je n'ai pas dit qu'il n'y avait pas de déplacement selon ur, mais que la CL est nulle : autrement dit Ur(r=a)=0 (et non Ur=0).

Citation :
Comment fait-on pour faire intervenir les forces tangentielles ?

On écrit la loi de Hooke, ce qui va donner la (les) dérivée de U.

Citation :
d'abord faire l'étude avec le bouchon à l'équilibre ?

L'étude est à l'équilibre (à la limite) à ce que j'ai compris.

Citation :
je me demande si il ne faut pas prendre en compte une force en z

Cette force en z est simplement la résultante de vos efforts tangentiels, donc vous la prenez bien en compte.

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 08-07-20 à 23:50

Bonjour,

Le sujet est quand même bizarre :
- toutes les données concernent le tube et on demande d'étudier le bouchon ?
- si le bouchon ne glisse pas, c'est qu'il est préalablement comprimé, on n'a aucun renseignement de ce type.
- on parle de condition d'adhésion du bouchon sur S1 (r=b), alors que le bouchon est en contact par S3(?) (r=a)

Posté par
gbm Webmasterre : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 09-07-20 à 08:01

Bonjour à vous deux,

guillaume628 : je te souhaite la bienvenue sur le forum.

Que ce soit pour les énoncés ou les pistes de réflexions, il faut que tu t'appropries les outils mis à disposition sur le site :

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q10 - Puis-je insérer des symboles mathématiques afin de faciliter la lecture de mon message ?


Les scans manuscrits ne sont plus tolérés.

Merci et bonne journée,

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 22-07-20 à 21:49

Avec du retard, merci pour les réponses gts2
Est-il possible de m'aider à la question 3 dans le calcul de la divergence de U, du gradient de U et du rotationnel de U ? J'ai trouvé sur internet la divergence, le gradient et le rotationnel pour des coordonnées cylindriques mais je ne vois pas comment le trouver par le calcul. Sachant que dans l'énonce il est dit que le champ de déplacement est uniquement suivant e3 (donc axe z).

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 22-07-20 à 21:54

pour le moment j'ai :

div U = \frac{\delta U3}{\delta 3}


grad u = \frac{\delta U}{\delta 3} e3

rot u = ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 22-07-20 à 23:01

Bonjour,

Avec \vec{u}=g(r)\vec{u_3} et en supposant que u_3=u_z et ne gardant que les termes non nuls, cela donne :

div(\vec{u})=\frac{\partial g(r)}{\partial z}=0
\vec{rot}(\vec{u})=-\frac{\partial g(r)}{\partial r}\vec{u_\theta}=-g'(r)\vec{u_\theta}

Il faut aussi le Laplacien :
\Delta \vec{u}=\Delta g(r) \vec{u_z}=(\frac 1r\frac{d}{dr}(rg'(r)))\vec{u_z}

Tout cela peut se trouver par calcul, mais pour le moment ce n'est pas le plus important.  

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 23-07-20 à 07:47

J'avais oublié le gradient, la seule composante non nulle est la composante (r,z) et vaut g'(r).

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 23-07-20 à 21:36

Merci pour la réponse gts2, on nous conseille d'utiliser la technique du calcul en cartésien pour faciliter les calculs mais je ne comprends pas trop également. Il nous demande de prendre :
x1 = r cos(\theta )
x2 = r sin(\theta )

\frac{\delta U}{\delta x1}= \frac{\delta U}{\delta r}*\frac{\delta r}{\delta x1}+\frac{\delta U}{\delta \theta }*\frac{\delta \theta }{\delta x1}

\frac{\delta U}{\delta x2}= \frac{\delta U}{\delta r}*\frac{\delta r}{\delta x2}+\frac{\delta U}{\delta \theta }*\frac{\delta \theta }{\delta x2}

Et de calculer le rotationnel, la divergence et le gradient en cartésien, je ne sais pas du tout comment faire.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 23-07-20 à 21:40

C'est surtout pour x3 que je ne vois pas quoi prendre

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 23-07-20 à 21:54

Car si on fait tout en cartésien et que l'on prend x3 = x3, comment faire pour passer ensuite de cartésien à cylindrique ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 24-07-20 à 08:38

Citation :
utiliser la technique du calcul en cartésien pour faciliter les calculs


Pour la compliquer plutôt !

Pour les coordonnées cylindriques voir par exemple

Avec vos notations en cartésiennes x_1=x, x_2=y, x_3=z et en cylindriques x_1=r, x_2=\theta, x_3=z. Donc le même x3 pour les deux systèmes.

En cartésienne on peut utiliser le nabla sans complication \vec{\nabla}=(\frac{\partial}{\partial x},\frac{\partial}{\partial y},\frac{\partial}{\partial z})
\vec{grad}(f)=\vec{\nabla}(f), div(\vec{v})=\vec{\nabla}\cdot\vec{v}, \vec{rot}(\vec{v})=\vec{\nabla}\wedge\vec{v}
\vec{grad}(\vec{v})=\vec{\nabla} \vec{v}
Voir

Soit en ne gardant que les termes concernant la composante sur z
div(\vec{v})=\frac{\partial g(r)}{\partial z}=0
\vec{rot}(\vec{v})_x=\frac{\partial g(r)}{\partial y} et vous utilisez vos formules de composition
\vec{rot}(\vec{v})_y=-\frac{\partial g(r)}{\partial x} idem
\vec{grad}(\vec{v})_{z,x}=\frac{\partial g(r)}{\partial x}
\vec{grad}(\vec{v})_{z,y}=\frac{\partial g(r)}{\partial y}

Pour revenir en cylindriques, pour div pas de pb !, pour rot (donc vous n'avez pas besoin ?) vous il faudra simplement reconnaitre le vecteur (y/r,-x/r), i.e ? Pour ce qui est du gradient à quoi vous sert-t-il ?

Vous n'avez pas besoin du laplacien ? Vous utilisez  \Delta=\vec{grad}(div)-\vec{rot}(\vec{rot}) ? d'où la nécessité du rot ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 19:49

Merci pour la réponse gts2
Mais je ne vois comment faire pour simplifier \frac{\delta r}{\delta y} dans le calcul de rot (v)x
Peut être que dans notre cas c'est y1 = r cos(\theta ) et y2 = r sin(\theta ) ? De plus je n'ai pas de vecteur y/r et -x/r dans mon résultat de rotationnel.

Pour le gradient je peux utiliser x1 = r cos(\theta
x2 = r sin(\theta )  ?

Ensuite le gradient me sert car je dois intégrer grad(div u)  = rot (u) si j'ai bien compris, c'est pour ca que c'est bizarre que div(u) = 0

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 19:56

car (λ + µ) * grad(div(u )) −rot(rot(u )) +ρ f = 0

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 21:08

y1 doit être x donc en effet r\cos(\theta), de même pour y.

Pour trouver x/r et y/r, j'utilise r^2=x^2+y^2 qui différencié donne 2r dr=2x dx +2 y dy et donc \frac{\partial r}{\partial x}=\frac{x}{r}. Mais on remarque que \frac{x}{r}=\cos(\theta) ce que vous devez avoir trouvé.

\vec{rot}(\vec{v})_y=-\frac{\partial g(r)}{\partial x}=-g'(r) \frac{x}{r}=-g'(r)\cos(\theta) et idem pour la composante en x. On se retrouve avec -g'(r)\left(-\frac{y}{r}\vec{u_x}+\frac{x}{r}\vec{u_y}\right)=-g'(r)\left(-\sin(\theta)\vec{u_x}+\cos(\theta)\vec{u_y}\right) qui vaut bien -g'(r)\vec{u_\theta}

Le fait que la divergence soit nulle n'est pas bizarre, si on s'appuie sur l'expression de div, on dérive les composantes en x1 par rapport à x1 (le même x1), comme ici u est porté par Oz et dépend de r, cela fait naturellement 0.

Navier a 36 formes en s'appuyant sur rot(rot) + ...

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 21:19

Pour le moment j'ai ça :

\vec{grad}(\vec{v})_z,x=\frac{\partial g(r)}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial \theta }*\frac{\partial \theta }{\partial x}=g'(r)*cos(\theta )

\vec{grad}(\vec{v})_z,y=\frac{\partial g(r)}{\partial y}=\frac{\partial v}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial \theta }*\frac{\partial \theta }{\partial y}=g'(r)*sin(\theta )

\vec{rot}(\vec{v})_x=\frac{\partial g(r)}{\partial y}=g'(r)*sin(\theta )=\vec{grad}(\vec{v})_z,y

\vec{rot}(\vec{v})_y=-\frac{\partial g(r)}{\partial x}=g'(r)*cos(\theta )=-\vec{grad}(\vec{v})_z,x \\

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 21:23

Merci pour la réponse gts2, du coup la on utilise seulement \vec{rot}(\vec{v})_y  pour trouver le rotationnel, donc à quoi sert tex]\vec{rot}(\vec{v})_x[/tex] ? On retombe sur le même résultat en fait, qu'on utilise  rot suivant x ou y ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 21:25

Et du coup, là je suis rendu à la question 4, c'est la que rotationnel, divergence et gradient doivent me servir pour pouvoir intégrer l'équation de Navier qui est donnée dans l'énoncé (si j'ai bien compris). Par contre la encore je ne vois pas trop comment procédé

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 27-07-20 à 23:18

Un vecteur a plusieurs composantes, si on connait uniquement rot_y on ne connait pas \vec{rot}, il faut connaitre les trois composantes sur x, y et z pour connaitre le vecteur.

Pour résoudre la question 4, il faut connaitre grad(div) qui est nul et rot(rot(u)) ; pour le moment vous n'avez calculé que rot(u).

Une fois ceci fait, vous reportez dans l'équation de Navier :  grad(div)=0 ; f=0 ; et normalement rot(rot) a uniquement une composante sur z qu'il suffira donc de prendre nulle et vous donnera une équation en g(r).

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 20:19

Je trouve seulement un résultat suivant Ur pour le rot(rot(U)) :

Je prends  rot(u) = -g'(r)U\theta = \vec{A}
Donc \vec{rot}(\vec{A})
\vec{rot}(\vec{A}) =\vec{Ur}*\frac{\delta }{\delta r}(Ar*\vec{Ur}+A\theta *\vec{U\theta }+Az *\vec{Uz})+\vec{U\theta }*\frac{1}{r}\frac{\delta }{\delta \theta }(Ar*\vec{Ur}+A\theta *\vec{U\theta }+Az *\vec{Uz})+\vec{Uz}*\frac{\delta }{\delta z }(Ar*\vec{Ur}+A\theta *\vec{U\theta }+Az *\vec{Uz})

= \vec{rot}(\vec{A}) =\vec{Ur}*\frac{\delta }{\delta r}(-g'(r))+\vec{U\theta }*\frac{1}{r}\frac{\delta }{\delta \theta }(-g'(r))+\vec{Uz}*\frac{\delta }{\delta z }(-g'(r))

ce qui donne :

\vec{rot (A)}=-g''(r) \vec{Ur}

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 21:16

Et pour le gradient, j'ai trouvé grad(u) = g'(r) Uz

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 21:23

D'où sortez-vous cette expression de rot ?

En cylindrique avec une composante sur \vec{ u_\theta} dépendant de r, cela donne comme seul terme non nul \vec{u_z}\frac 1r \left(\frac{\partial r A_\theta}{\partial r}\right)

Voir

et en cartésiennes avec des composantes sur x et y, fonction de x et y (par l'intermédiaire de r et \theta), seul terme non nul :  \vec{u_z} \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right), cacul pour lequel il est plus simple d'utiliser x/r que \cos(\theta)

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 21:42

Merci gts2.
J'ai trouvé la formule sur ce site : http://epiphys.emn.fr/spip.php?article173

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 21:47

Pour ce qui est du gradient, \vec{u}  étant un vecteur, le gradient est à deux dimensions (celui du vecteur + celui de la dérivée) et vous ne vous êtes cette fois-ci pas placer en cartésiennes, (sinon il aurait fallu dériver par rapport à x et y) et vous n'auriez pas obtenu un simple g'(r), vous obtenez donc la composante (r,z) du champ de déformation.

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:02

Attention : dans la formule du site indiqué :


- x désigne le produit vectoriel, premier terme
\vec{rot}(\vec{A}) =\vec{u_r} \wedge \left(\frac{\partial }{\partial r}(Ar\vec{u_r}+A\theta \vec{u_\theta }+Az \vec{U_z})\right)=-g''(r) \vec{u_z}

- et il faut dériver aussi les vecteurs unitaires, deuxième terme :

\vec{u_\theta }\wedge\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial \theta }(Ar\vec{u_r}+A\theta \vec{u_\theta }+Az\vec{u_z})=\vec{U_\theta }\wedge \frac{1}{r}(- g'(r))\frac{\partial }{\partial \theta }(\vec{u_\theta })=\vec{U_\theta }\wedge \frac{1}{r}(- g'(r))(-\vec{u_r}) par dérivation de \vec{u_\theta }

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:04

Par contre je ne vois pas comment calculer \left(\frac{\partial r A_\theta}{\partial r}\right) ?

Je viens de regarder en cartésien, et j'obtiens ca :

\vec{rot(A)}= \vec{u_z} \left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)=\frac{\partial A}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial A}{\partial \theta }*\frac{\partial \theta }{\partial x}-(\frac{\partial A}{\partial r}*\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial A}{\partial \theta }*\frac{\partial \theta }{\partial y})

Et après je suis coincé, à quoi est égal \frac{\partial A}{\partial \theta } ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:09

Du coup mon gradient est faux ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:16

gts2 @ 28-07-2020 à 21:23


En cylindrique avec une composante sur \vec{ u_\theta} dépendant de r, cela donne comme seul terme non nul \vec{u_z}\frac 1r \left(\frac{\partial r A_\theta}{\partial r}\right)


Peut-on dire que \vec{rot (A)}=\frac{1}{r}*-g'(r) *\vec{Uz} ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:19

Ou plutôt :

\vec{rot (A)}=\frac{1}{r}*(-g'(r) -g''(r)*r)*\vec{Uz}  ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:33

Prenons le premier terme \frac{\partial A_y}{\partial x}

1- Si l'on prend l'expression g'(r) \frac xr, cela donne \frac{\partial g'(r)}{\partial x} \frac xr+g'(r)\frac{\partial x}{\partial x} \frac 1r+g'(r)x\frac{\partial 1/r}{\partial x} soit g''(r) (\frac xr)^2+g'(r) \frac 1r-g'(r)x\frac{1}{r^2}\frac xr

1- Si l'on prend l'expression g'(r) \cos(\theta), cela donne \frac{\partial g'(r)}{\partial r} \cos(\theta)^2+g'(r)\frac{\partial \cos(\theta)}{\partial \theta} \frac {-\sin(\theta)}{r} soit g''(r) \cos(\theta)^2+g'(r) \frac 1r\sin(\theta)^2

Il reste à combiner avec le deuxième terme...

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 28-07-20 à 22:34

On peut en effet écrire -( g''(r)+g'(r)/r )

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 06:50

D'accord merci,

Et pour

gts2 @ 28-07-2020 à 21:47

Pour ce qui est du gradient, \vec{u}  étant un vecteur, le gradient est à deux dimensions (celui du vecteur + celui de la dérivée) et vous ne vous êtes cette fois-ci pas placer en cartésiennes, (sinon il aurait fallu dériver par rapport à x et y) et vous n'auriez pas obtenu un simple g'(r), vous obtenez donc la composante (r,z) du champ de déformation.


Cela signifie que mon gradient est faux ? Ou  grad(u) = g'(r) Uz C'est bon ? Pour moi c'est juste que je suis directement en cylindrique non ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 07:10

En cylindrique

\vec{grad}(\vec{u})=\begin{matrix}0&0&0\\0&0&0\\g'(r)&0&0\end{matrix}

qui reste à symétriser et porter dans la loi de Hooke pour obtenir la contrainte selon uz (donc troisième ligne) sur la face perpendiculaire à ur (donc première colonne) : on a bien besoin de deux dimensions.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 19:46

Ok je vois, merci, après dans cet exercice le gradient ne nous sert pas vu que div(u) = 0  ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 19:57

gts2Et donc la réponse à la question 3 est :

\vec{rot (A)}=\frac{1}{r}*(-g'(r) -g''(r)*r)*\vec{Uz}=0  

Et à la question 4, je dois faire la primitive de ca ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 20:25

Citation :
dans cet exercice le gradient ne nous sert pas


Si : il sert à calculer le tenseur des déformations pour déterminer la CL en r=a à l'aide de la loi de Hook.

Citation :
à la question 4, je dois faire la primitive de ca ?


Oui, mais à réécrire sous la forme \frac 1r \frac{d}{dr}(r g'(r))  plus facile à intégrer.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 21:13

En résolvant l'équation différentielle d'ordre 2, j'obtiens g(r) = C1 * ln(r) + C2, je sais pas si vous êtes d'accord avec ça gts2 ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 21:18

C'est bien cela. Pour la suite, on peut aussi écrire g(r) = C1 * ln(r/r0) qui a l'avantage d'éviter d'avoir un argument du log dimensionné.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 21:24

D'accord merci gts2, donc c'était la réponse à la question 4.

Pour la question 5, vous m'aviez dit qu'il fallait faire une étude de fonction, si vous pouvez m'indiquer la démarche à suivre car je ne vois pas trop comment faire ?

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 21:52

Bonjour,

Il faut d'abord finir la question 4 en déterminant les deux constantes à  l'aide des CL.

En r=b, c'est immédiat. Par contre pour r=a, il faut déterminer la relation entre g(r) et l'effort tangentiel.

Une fois ceci fait (en particulier signe de C1 connu), comme la fonction (ln) est connue, l'étude de fonction se résume à utiliser les propriétés de ln.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 22:19

D'accord.
Pour la condition limite pour r=b c'est 0, cette CL correspond à C1 ou C2 ?
Pour r=a, si j'ai bien compris il faut réussir à relier la relation  g(r) = C1 * ln(r) + C2 à la relation donnée dans l'énoncé (1/(2Pi a l) F) ?

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 22:30

Je viens de regarder et je ne vois pas du tout comment faire pour la CL en r=a :/

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 22:42

Vous connaissez la contrainte dans la direction z sur la surface perpendiculaire à ur.

Vous connaissez de même l'expression du coefficient de même type  (r,z) pour le tenseur de déformation.

Les deux sont reliés par la loi de Hooke.

Posté par
guillaume628re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 29-07-20 à 22:50

c'est l'expression du coefficient pour le tenseur des déformations que je n'ai pas réussi à trouver. De ce que j'avais trouvé, j'avais juste grad(u) = g'(r) Uz.

Je sais pas si je vais réussir à en voir le bout de cet exercice 😂

Posté par
gts2re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 30-07-20 à 07:42

Le coefficient vaut bien g'(r), c'est juste le Uz qui n'est pas correct (voir mon message du 29/07 à 7:10).

Voir p. 11 en cartésiennes, p. 14 en cylindriques.

Vous avez donc vu le tenseur des déformations, comment l'avez-vous défini ?

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