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Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 31-07-20 à 21:43

Merci gts2

gts2 @ 30-07-2020 à 07:42

Le coefficient vaut bien g'(r), c'est juste le Uz qui n'est pas correct (voir mon message du 29/07 à 7:10).

Voir p. 11 en cartésiennes, p. 14 en cylindriques.

Vous avez donc vu le tenseur des déformations, comment l'avez-vous défini ?


ok pour le gradient, mais je ne vois pas comment trouver les deux constantes C1 et C2 avec les conditions limites ?. A la question 1 j'avais indiqué en CL que déplacement S1=0 => Ur(r=b)=0, que le tenseur des efforts sur S2 et S2' = 0.
Qu'entendez vous pas tenseur des déformations, comment le trouver ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 31-07-20 à 22:16


Bonjour,

Si g(r=b) = C1 * ln(r) + C2=0 (écrit plutôt C1 * ln(r/r0) ), cela doit donner  r0=b.

Je ne comprends pas trop comment on a pu vous donner cet exo sans connaitre le tenseur des déformations, c'est le grad(u) symétrisé pour éliminer les rotations qui ne créent pas de déformation et donc    

\varepsilon=\frac 12 \begin{matrix}0&0&g'(r)\\0&0&0\\g'(r)&0&0\end{matrix}
 \\

à reporter dans la loi de Hooke \sigma=\lambda Tr(\varepsilon) I + 2\mu \varepsilon, que vous connaissez peut-être sous une autre forme (à la fois mathématique et physique, c'est la relation entre déformation et contrainte, l'équivalent de F=-kx) qui doit vous donner g'(r)=F/(2 al)  en r=a.

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 31-07-20 à 22:43

Ah ok merci, je viens de comprendre, ce que vous appeler tenseur des déformations nous appelons ça "relation déplacement/déformations" et c'est bien égal à \varepsilon=\frac 12(grad(u)+grad(u)^{T}). Par contre comment résoudre ça : (on laisse \lambda et \mu ou il faut les remplacer par leurs valeurs ?)


\sigma=\lambda * \frac 12 \begin{pmatrix}0&0&g'(r)\\0&0&0\\g'(r)&0&0\end{pmatrix}*\begin{pmatrix} 1& 0& 0\\ 0& 1 & 0\\ 0& 0 & 1 \end{pmatrix} + 2\mu * \frac 12 \begin{pmatrix}0&0&g'(r)\\0&0&0\\g'(r)&0&0\end{pmatrix}

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 31-07-20 à 22:53

\sigma= \begin{pmatrix}0&0&\frac{g'(r)}{2}*\lambda +g'(r)*\mu\\0&0&0\\\frac{g'(r)}{2}*\lambda +g'(r)*\mu&0&0\end{pmatrix}

Voilà ce que j'ai

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 01-08-20 à 06:32

Tr(\varepsilon) signifie trace de \varepsilon, somme des coeff. diagonaux, cela fait donc 0. Et donc la partie utile du tenseur des contraintes est \mu g'(r).
Comme c'est uniquement du calcul littéral, on garde

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 04-08-20 à 19:16

D'accord merci, du coup on obtient :
\sigma=\mu * \begin{pmatrix}0&0&g'(r)\\0&0&0\\g'(r)&0&0\end{pmatrix}, et ensuite gts2 ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 04-08-20 à 20:00

On connait \sigma_{rz} : contrainte selon z sur la face perpendiculaire à r.

Or le texte dit "sur la surface latérale intérieure un effort tangentiel uniformément réparti de densité surfacique (1/(2Pi a l)) F e3"

Donc g'(r=a)=\frac{1}{2 \pi a \ell} F

Ce qui va vous donner la constante manquante.

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 04-08-20 à 21:23

ok merci gts2, j'obtiens donc :

g(r) = C1 * ln(r) + C2
g'(r) = C1 * \frac{1 }{r}
g(r=b) = C1 * ln(r) + C2 = 0
g'(r=a) = \frac{1}{2\Pi a l}F = \frac{C1}{r} \Rightarrow C1 = \frac{r}{2 \Pi a l }F
\Rightarrow C2 = - \frac{r}{2 \Pi a l} F * ln(r)

et ensuite pour la question 5 je dois analyser la fonction g(r) ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 04-08-20 à 21:43

C'est bien cela, mais tenir compte du r=a et du r=b, et du en facteur de la matrice que j'avais oublié ! soit
C1 =\frac 1\mu \frac{a}{2 \Pi a l }F = \frac{1}{2 \Pi \mu l }F

C2 = - \frac{1}{2 \Pi \mu l} F * ln(b)

Pour 5, oui c'est juste l'étude de la fonction g(r), puisque la seule contrainte présente est tangentielle.

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 19:55

guillaume628 @ 07-07-2020 à 20:16


5. En quels points du bouchon la contrainte tangentielle maximale atteint-elle sa valeur maximale. Préciser les directions n associées.

Extraction d'un tube cylindrique sous pression


En faisant l'etude de fonction, je trouve que la fonction est strictement croissante et positive et qu'elle tend vers +infini.

Comment trouver la contrainte tangentielle max à partir de cela ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 20:38

Il ne faut pas oublier que r varie uniquement de a à b, et que la contrainte est proportionnelle à g'(r).

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 21:41

ok, donc on obtient que la contrainte tangentielle maximale est pour r=b et en ce point g(r) = \frac{1}{2\Pi l \mu b} F

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 21:48

C'est presque cela : c'est la contrainte (g'), qui est maximale,  pas le déplacement u (g).

Donc le maxi est en r=a.

Dans mon message du 04/08 21:43, j'avais oublié de rectifier g(r) en g'(r), désolé.

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 21:55

\begin{array} {|c|cccc|} r & a& & b \\ {g'(r)} & & + & & \\ {g(r)} & & \nearrow & & \end{array}

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 21:58

Je ne comprends pas pourquoi le maxi est pour r=a ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 22:02

La contrainte est proportionnelle à g'(r)=k/r ; a<b donc 1/a>1/b donc g'(a)>g'b)

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 22:05

ok merci, donc la contrainte tangentielle maximale est pour r=a et en ce point g(r) = \frac{1}{2\Pi l\mu }F*ln(a)-\frac{1}{2\Pi l\mu}F*ln(b) ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 22:12

C'est bien cela.

Remarque : on est ici dans un cas simple : un seul terme qui est tangentiel (cisaillement).
Dans le cas général, cela se complique... Ne pas généraliser.

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 05-08-20 à 22:15

Autre remarque : il est plus habituel/raisonnable ... d'écrire  g(r) = \frac{1}{2\Pi l\mu }F*ln(\frac ab) qui a l'avantage, entre autres, d'avoir un argument de ln sans dimension.

Posté par
guillaume628
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 06-08-20 à 21:25

ok merci, et du coup pour les directions de n associées , c'est selon e3 non ?

Posté par
gts2
re : Extraction d'un tube cylindrique sous pression 06-08-20 à 22:59

A vrai dire, je ne sais pas trop : le texte parle des directions, donc peut-être e3 direction de la contrainte et er direction de la normale de la surface concernée.

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