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expression du vecteur vitesse

Posté par
dark02 15-01-15 à 12:41

Un point matériel M suit décrit une courbe plane donc l'équation paramétrique en coordonnées polaire est :
\frac{1}{2}\rho _0(1+cos\alpha t) et \phi = \alpha t

\rho _0, \alpha sont des constantes.

Donner l 'expression du vecteur vitesse dans le cas du mouvement considéré.

Je n'y arrive pas
Je sais que \vec{v} = \dot{\rho} \hat{\rho} + \rho \dot{\phi} \hat{\phi}

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 14:12

Bonjour,

Pourquoi n'y arrives-tu pas?

L'expression de la vitesse en coordonnées polaires est :

\vec{v} = \dot{\rho}  \vec{u_{\rho}} + \rho  \dot{\phi}  \vec{u_{\phi}}

Sachant que tu as \rho et \phi , il te reste "juste" à calculer les dérivées.

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 14:37

oui ça j'y arrive mais comment puis je calculer \vec{u_\rho} ?

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 14:43

je viens de me rendre compte d'un oubli .. l'équation de trajectoire c'est :
\rho = \frac {1}{2} \rho _0(1+cos\alpha t)

j'ai trouvé que :
\dot{\rho} = \frac{1}{2}cos\alpha et \dot{\phi} = \alpha

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 14:57

Les coordonnées cartésiennes sont exprimées dans un repère dont les axes sont ( \vec{x} , \vec{y} , \vec{z}).
Un vecteur aura donc 3 composantes, une selon chaque vecteur.

Par exemple, dans ce système de coordonnées, le vecteur vitesse s'exprime : \vec{v}(t) = \dot{x} \vec{u_{x}} + \dot{y} \vec{u_{y}} + \dot{z} \vec{u_{z}}


Maintenant, dans le système de coordonnées polaires, les axes du repère sont : (\vec{u_{\rho}} , \vec{u_{\theta}}).
Ces vecteurs sont obtenus à partir des vecteurs de la base cartésienne par simple transformation trigonométrique:
x = \rho  cos \theta et y = \rho  sin \theta .

Un vecteur s'exprimera alors dans ce système de coordonnées selon les nouveaux vecteurs de base tels que :
\vec{v}(t) = \dot{\rho}  \vec{u_{\rho}} + \rho  \dot{\theta}  \vec{u_{\theta}}.


Tu ne cherches pas à calculer les vecteurs \vec{u_{x}} ou \vec{u_{y}} dans le système cartésien.
Et bien, c'est pareil en polaire, tu ne cherches pas à calculer \vec{u_{\rho}}, c'est simplement un vecteur unitaire de ta base polaire qui indique la direction.
Donc, ton vecteur aura une composante selon le premier vecteur de base et une seconde composante selon l'autre vecteur de base, ce qui donnera finalement à ton vecteur vitesse une direction dans cette base polaire.


J'espère que mes explications t'éclairent.

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 14:59

Ta dérivée \dot{\rho}} est fausse.

Attention à la dérivée de cos(\alpha t).

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:02

donc :
\vec{v}(t) = \frac{1}{2}cos\alpha \vec{u_\rho} + \frac{1}{2}\rho_0 (1+cos\alpha t) \alpha \vec{u_\phi}

?

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:02

oups, j'avais pas vu ton message, je revérifie ma dérivé

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:07

\dot{\rho} = -\frac{1}{2}\alpha \roh_0 sin(\alpha t ?

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:08

zut ! c'est \rho_0 et non \alpha_0

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:08

On s'en rapproche.

Par contre, tu as du \alpha_{0} , je suppose que c'est \pho_{0}. Dans ce cas, il manque un petit quelque chose.

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:12

\vec{v}(t) = -\frac{1}{2}\alpha \rho_0 sin(\alpha t)\vec{u_\rho}+\frac{1}{2} \rho_0(1+cos \alpha t)\alpha \vec{u_\phi}

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:14

Parfait.

Pour la beauté, tu peux même mettre en facteur \frac{1}{2}  \alpha  \rho_{0}

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:20

d'accord, merci beaucoup ! c'est pas si compliqué en fait ^^ tu veux pas remplacer mon prof ? :p

Je peux t'embêter encore un peu ? comment je calcule la norme de ce vecteur ?
je pense que c'est ça mais je suis pas sûr :

||\vec{v}|| = \sqrt{(-\frac{1}{2}\alpha \rho_0 sin(\alpha t))^2+(\frac{1}{2}\alpha \rho_0(1+cos(\alpha t))^2}

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:24

De rien

Malheureusement, je pense pas avoir le niveau pour remplacer ton prof, il te sera plus utile que moi ^^

Oui, c'est ça pour la norme

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:27

il n'y a pas moyen de "raccourcir" la norme ?
merci pour tout !

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:33

Bien sûr qu'il y a moyen, il faut que tu développes. Tu verras que tu pourras mettre des choses en facteur, faire disparaître des choses...  etc

Essaye

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:42

comment on développe ce "truc"

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:46

Développe les carrés dans un premier temps.

Tu as quelque chose de la forme :

(abcd)² + (abc(e+f))²

Tu développes les carrés : a²b²c²d² + a²b²c²(e+f)²
Puis tu factorises car il y a un facteur commun : a²b²c² (d² + (e+f)²)
Puis tu développes l'identité remarquable (e+f)² : a²b²c² (d² + e² + 2ef + f²)

Enfin, tu vois la procédure à suivre
Tu auras souvent des calculs de ce genre à faire.
Il faut pas avoir peur, occupe toi de ce que tu peux dans un premier temps, c'est-à-dire développer les carrés. Puis tu vois ce que tu peux faire ensuite...

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:54

j'ai donc au final :

\sqrt{\frac{1}{4}\alpha^2\rho_0 ^2(2cos(\alpha t)+2)}

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 15:58

Ok c'est bien.

On peut aller plus loin encore.

Tu peux mettre en facteur le 2. Qui va donc se simplifier avec 1/4 en donnant 1/2.

Puis, tu peux sortir \alpha^{2} et \rho_{0}^{2} de la racine...

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:03

\alpha \rho_0\sqrt{\frac{1}{2}(cos(\alpha t)+1)}

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:05

Voilà, ça te va comme "raccourci"?

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:09

c'est beaucoup mieux !

puis je te demander autre chose ?

il faut que je compare v = \frac{ds}{dt} et ||\vec{v} et que j'en déduise s(t)

mais pour calculer ds/dt ne faut-il pas connaître s(t) ?

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:13

Pourquoi calculer ds/dt puisqu'on te dit que c'est égal à v?

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:16

on me demande de les comparer ... je suppose qu'il faut je calcule ds/dt et que je trouve que ça correspond à ce que j'ai trouvé avant

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:22

Si je suis ton énoncé, on te demande de comparer v et \| \vec{v}\|
Ca me paraît étrange posé comme ça.

Sinon l'information v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} te permet justement de calculer s(t).

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:26

d'accord, et comment je calcul ds/dt ?

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:27

Je me répète, tu as pas besoin de le calculer, puisqu'on te dit qu'il est égal à v et que jusqu'à preuve du contraire, tu as déjà calculé v

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:30

donc je dit juste que c'est égal  et que s(t) = v ?

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 16:33

Ah non!

Il y a écrit v = ds/dt et pas v = s(t).

Comment trouver s lorsqu'on a v = ds/dt ?




Petite aide... imaginons que tu connaisses s, et que tu cherches v.
v = ds/dt te poserait pas de problème... il te suffirait juste de dériver s comme tu l'as fait des centaines de fois.

Sauf que là, c'est l'inverse, on connait v et on cherche s....

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 18:26

on intègre ds/dt ?

Posté par
Fukstib78re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 18:32

Voilà, intégrer te donnera s(t)

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 15-01-15 à 18:39

donc :

\frac{ds}{dt} = ||\vec{v}||

s(t) =\int_{t_0}^{t}(\alpha \rho_0 \sqrt{\frac{1}{2}(cos (\alpha t)+1)})dt

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 13:03

ensuite il me demande de donner l'expression de l'accélération. J'ai donc dérivé \vec{v} et j'ai trouvé :
\vec{a} = (-\frac{1}{2}\alpha \rho_0^2)(cos(\alpha +t)\hat{\rho} - sin(\alpha t)\hat{\phi})

ensuite il me demande de montrer que ||\vec{a}|| = \frac{1}{2}\alpha^2\rho_0 \sqrt{1+8cos^2(\frac{\alpha t}{2})} mais moi je trouve ||\vec{a}|| = \frac{1}{2}\alpha^2\rho_0 \sqrt{-2cos(\alpha t)sin(\alpha t)+1}

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 13:03

c'est cos (t) et non cos(+t)

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 13:27

bonjour,

attention, si tu dérives exprimée en polaires, il faut aussi dériver les vecteurs de base et qui dépendent de t

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 14:57

ah .. et comment je les dérive ?

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 15:33

ça doit être expliqué dans ton cours et ça l'est ici aussi :

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 15:43

donc :

\vec{a} = (\ddot{\rho}-\rho \dot{\phi}^2)\vec{u_\phi}+(2\dot{\rho} \dot{\phi}+\rho \ddot{\phi})\vec{u_\phi} \

ce qui donnerait dans mon cas :
\vec{a} = ((-\frac{1}{2}\alpha^2\rho_0)(2cos(\alpha t)+1))\vec{u_\rho}+(-\alpha^2\rho_0 sin (\alpha t))\vec{u_\phi}

?

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 15:58

oui, ce qui doit faire en réarrangeant un peu :
-0.52o [ (1+2cos(t)) + 2 sin(t) ]

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 16:14

merci !

il faut maintenant que je détermine \vec{a} dans le cas général et ||\vec{a}|| dans le cas étudié pour la base intrinsèque.

dans le cas général :
\vec{a} = \frac{d^2s}{dt^2}\vec{u_\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{u_\n}

mais je vois pas déterminer la norme :S

merci pour l'aide que vous m'apportez

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 16:16

zut j'ai dû faire une erreur dans le code, dans le cas général :
\vec{a} = \frac{d^2s}{dt^2}\vec{u_\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{u_n}

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 16:19

mais tu l'as l'accélération dans la base polaire, donc tu calcules sa norme

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 16:22

la norme est la même dans la base polaire que dans la base intrinsèque ?

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 16:42

oui

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 17:28

d'accord

il faut ensuite que je détermine le rayon de la courbure R et après c'est fini j'arrête de vous embêter

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 17:36

la formule de l'accélération dans le repère de Frénet te donne ||a||2
en fct de dv/dt, de v et de R

comme tu connais ||a||, v(t) et dv/dt, tu en déduis R

Posté par
dark02re : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 17:47

R = \frac{v^2}{\vec{a}-\frac{dv}{dt}} ?

Posté par
krinn Correcteurre : expression du vecteur vitesse 16-01-15 à 17:52

non

a - dv/dt n'a pas de sens!

que vaut ||a||2 ?

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