Bonjour,
Deux indices:
- v(t) doit être homogène à une vitesse..
- L'exponentielle ne peut être que sans dimension (une exponentielle de temps ou de distance n'a pas de sens).

Qu'est-ce qu'une fonction homogène ?

Concernant les exercices :
1. v(t) et v_lim sont en m.s^-1, donc je suppose que K^e(-t/) n'a pas de dimension. Donc si une exponentielle n'a pas de dimension alors K ne doit pas en avoir non-plus.
Par contre pour je sais pas comment le déterminer. Quand tu dis qu'une exponentielle est sans dimension, est-ce que ça veut dire que est en s^-1, ce qui fait que t/ est sans dimension et que PAR CONSEQUENT e^(-t/) aussi,     ou est-ce qu'une exponentielle est sans dimension quoi qu'il arrive (auquel cas je ne sais pas quoi faire) ?


2. Je suppose que :
v(t) = v_lim + K^e(-t/)
v(t) - v_lim = K^e(-t/)
ln(v(t) - v_lim) = ln(K^e(-t/))
ln(v(t) - v_lim) = ln(K) + ln(^e(-t/))
ln(v(t) - v_lim) = ln(K) - t/

Et comme K et sont des constantes, alors ln(K) - t/ est une droite.
C'est bien ça ?

3. Ordonnée à l'origine c'est quand on prend "t=0", donc ln(K)
et la pente c'est "y2-y1 / x2-x1", donc si on prend "x1 = 0" et "x2 = t" ça donne :
(ln(K) - t/ - ln(K))   /   (t - 0)
(- t/)   /   t
(- 1/)  

Voilà, dites-moi si c'est bon !

1)

v(t) = vlim + K e(-t/tau)

[v(t)] = L.T^-1  et l'unité SI de v(t) est le m/s
[vlim] = L.T^-1  et l'unité SI de vlim est le m/s
[K] = L.T^-1  et l'unité SI de K est le m/s

[t/tau] = 1 (sans dimension) et donc [t] = [tau]

[t] = T  et l'unité SI de t est la s
[tau] = T  et l'unité SI de tau est la s
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2)

Il y a un os dans l'énoncé ... si K < 0 (et c'est bien le cas si on se fie au graphe donné)
L'objet est "lancé" à vitesse initiale > Vlim, non nulle vers le bas dans le fluide.

Si c'est le cas, alors on a v(t) > Vlim pendant toute la mesure et donc (v(t) - vlim) < 0 ... ce qui fait que ln(v(t) − vlim) n'existe pas.


v(t) = vlim + K e(-t/tau)
(v(t) - vlim) = K.e(-t/tau)

a) Si K < 0, (v(t) - vlim) < 0
et on a : |(v(t) - vlim)| = |K|.e(-t/tau)

b) Si K > 0, (v(t) - vlim) > 0
et on a : |(v(t) - vlim)| = |K|.e(-t/tau)

On peut donc traiter |(v(t) - vlim)| = |K|.e(-t/tau) quel que soit le signe de K

On prend le ln des 2 membres :

ln|(v(t) - vlim)| = ln[|K|.e(-t/tau)]

ln|(v(t) - vlim)| = ln[|K|] + ln[e(-t/tau)]

ln|(v(t) - vlim)| = ln[|K|] - t/tau

ln|(v(t) - vlim)| est de la forme At + B (qui est l'équation d'une droite de variable t)

avec A = -1/tau et B = ln|K|

Reste à voir si le problème que j'ai mentionné au début de la question a effleuré le prof ou si cela lui est passé au dessus de la tête.

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Sauf distraction.  

OOOOOOOOOOOOOOOOK, merci beaucoup pour cette explication détaillée.
Effectivement j'avais complètement oublié comment on trouve la dimension d'une variable, c'est plus clair maintenant.
Encore merci !