Niveau terminale

Exercice sur les integrales

Posté par
Amarouche1 06-04-21 à 19:29

Bonjour,
On pose : $I = \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt$
I- On considere la fonction F definie sur $[\frac{\pi }{2},\pi ]$ par : $F(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(t)}{t}}dt$ , et la fonction G definie sur : $[0,\frac{1}{2}]$ par : $G(x)= \int_{\frac{\pi }{2}}^{x}{\frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt$
1) Montrer que pour tout x $\in [0,\frac{1}2{}]$ :
G(x) $=F(\pi )-F(\pi (1-x))$
2) En deduire que : $I= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{sin(\pi t) }{1-t}}dt$
II- Soit (Un) la suite definie par : $Un= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n sin(\pi t)}dt$
1)Calculer $U_{0}$ et $U_{1}$ et montrer que pour tout n $\geq2$ : $U_{n} = \frac{1}{n^2}( \frac{n}{2^{n-1}}-n(n-1)U_{n-2})$
2) Montrer que : $I=\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}+R_{n}}$ avec : $R_{n}= \int_{0}^{\frac{1}{2}}{t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}dt$
3) Montrer que pour tout t de [0 , 1/2] : ${t^n \frac{sin(\pi t)}{1-t}}\leq 2t^n$ pui en deduire que pour tout n $\geq 2$
$\mid R_{n}\mid \leq \frac{1}{(n+1)2^n}$
4) Montrer que : $I = \lim_{n\rightarrow +\infty }\sum_{k=0}^{n-1}{U_{k}}$
5) Determiner une valeur approche de $I$ a $10^{-2}$ pres

Voila on commence par I- 1) ...
$G(x)=F(\pi )-F(\pi (1-x)) \Leftrightarrow \int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt$
$\Leftrightarrow$
$\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x) }{\frac{sin(t)}{t}}dt + \int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -\int_{\frac{\pi }{2}}^{\pi (1-x)}{\frac{sin(t)}{t}}dt = \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt$
$\Leftrightarrow$
$\int_{\pi (1-x)}^{\pi }{\frac{sin(t)}{t}}dt -= \int_{0}^{x}{\frac{sin(\pi t}{1-t)}}dt$
apres je ne trouve comment demontrer cette egalite ...
Merci d'avance

Posté par re : Exercice sur les integrales 06-04-21 à 19:33

Bonjour,

Tu t'es trompé de forum, il faut aller sur celui d'à-côté :

extrait de la FAQ du forum :

Q13 - Les questions de mathématiques sont elles acceptées sur le forum ?

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