Niveau maths sup

Exercice radar routier

Posté par
TomRlr 20-02-16 à 18:56

Bonjour à tous.
Je suis sur cet exercice qui me pose quelques difficultés.

L'effet Doppler fût découvert pour les ondes sonores en 1842 par Doppler puis par Fizeau pour les ondes électromagnétiques en 1848.
Une des applications de l'effet Doppler est le contrôle de vitesse des véhicules sur route grâce à des radars routiers. Un radar émet une onde électromagnétique en continu, réfléchie par le véhicule en mouvement, qui se trouve dans la direction pointée. L'onde réfléchie possède une fréquence légèrement différente de celle de l'onde émise. En mesurant la différence de fréquence entre l'onde émise et l'onde réfléchie, on peut calculer la vitesse du véhicule.

La fréquence de l'onde électromagnétique émise par le radar est $f_0=24.125 Ghz$ . On suppose que l'onde se propage avec la célérité $c=3,00.10^8m.s^{-1}$ dans l'air.

PARTIE I :
L'onde électromagnétique émise par le radar est une onde progressive sinusoïdale.
Q1 :
a. Rappeler la définition d'une onde progressive sinusoïdale.
$\rightarrow$ Une onde progressive sinusoïdale est le phénomène de propagation d'une onde dans un milieu sans transport de matière et qui se répète de manière périodique.

b. Rappeler la définition de la longueur d'onde $\lambda$ d'une onde progressive sinusoïdale.
$\rightarrow$ La longueur d'onde $\lambda$ d'une onde progressive sinusoïdale est la distance parcourue par l'onde durant une période.

c. Donner l'expression de $\lambda$ en fonction de la célérité c de l'onde dans le milieu et sa fréquence f.
$\rightarrow$ $\lambda=\frac{c}{f}$

d. Rappeler l'intervalle de le longueur d'onde de la lumière visible dans l'air.
$\rightarrow$ 400 nm à 800 nm.

Q2 :
a. Calculer la longueur d'onde $\lambda_0$ de l'onde lumineuse émise par le radar.
$\rightarrow \lambda_0=\frac{c}{f_0}$
A.N. : $\lambda_0=\frac{3,00.10^8}{24.125.10^9}=0,01m$

b. A quel type d'ondes lumineuses appartient l'onde émise par le radar ?
$\rightarrow$ L'onde émise par le radar appartient aux micro-ondes ( $1mm<\lambda_0<1m$ )

c. Citer un autre domaine d'application de ce type d'ondes lumineuses.
$\rightarrow$ La téléphonie mobile, la radio...

PARTIE II :
Le véhicule se rapproche du radar à la vitesse constante connue $v_1=100 km/h$ . La fréquence $f'_1$ de l'onde reçue par le véhicule a pour expression :
$f'_1=f_0(1+\frac{v_1}{c})$
Q1 :
a. Calculer $f'_1$ (exprimer le résultat avec 10 chiffres significatifs).
$\rightarrow f'_1=24,125.10^9(1+\frac{100}{3,6*3,00.10^8})=24125002230 Hz$

b. L'onde se réfléchie sur le véhicule, qui devient à son tour une source d'onde de fréquence $f'_1$ .
Donner l'expression de la fréquence $f''_1$ perçue par le radar en fonction de $f'_1, v_1, c$ .
$\rightarrow f''_1=f'_1(1+\frac{v_1}{c})$

c. En déduire l'expression de la fréquence $f''_1$ perçue par le radar en fonction de $f_0, v_1, c$ .
$\rightarrow f''_1=f_0(1+\frac{v_1}{c})^2$

d. Calculer $f''_1$ (exprimer le résultat avec 10 chiffres significatifs).
$\rightarrow f''_1=24,125.10^9(1+\frac{100}{3,6*3,00.10^8})=24125004470 Hz$

Q2 :
On définit l'écart de fréquence $\delta f_1$ par :
$\delta f_1 = f''_1-f_0$
a. Vérifier que pour $v<<c$ , on peut mettre $\delta f_1$ sous la forme :
$\delta f_1=\frac{2 f_0}{v_1 c}$
$\rightarrow$ C'est ici que le problème arrive. Déjà, j'ai du mal à imaginer une expression de $\delta f_1$ sous une telle forme. $\delta f_1$ est homogène à une fréquence alors que le reste à droite de l'égalité est homogène à des $m^{-2}s$ ... donc il n'y aurai pas homogénéité de cette expression pour moi.

b. Calculer $\delta f_1$ (exprimer le résultat avec 10 chiffres significatifs)
$\rightarrow \delta f_1=\frac{2*24,125.10^9*3,6}{100*3,00.10^8}=5.79 Hz$ en supposant que l'expression de la question a. est juste...

Q3 :
On étudie maintenant un véhicule se rapprochant du radar à la vitesse constante $v_2$ inconnue. L'écart de fréquence mesuré est $\delta f_2=8,04.10^3 Hz$ . Quelle est la vitesse $v_2$ du véhicule ?
$\rightarrow$ Alors pour cette question je nage littéralement aussi..
$\delta f_2=\frac{2 f_0}{v_2 c}$
d'où $v_2=\frac{2 f_0}{\delta f_2 c}=\frac{2*24,125.10^9}{8,04.10^3*3,00.10^8}=0,02 m/s = 0,07 km/h$
Ce résultat est totalement aberrant.. Je dois avoir une erreur quelque part mais où..?

Q4 :
Les radars sont conçus pour mesurer des écarts de fréquences valant au minimum $\delta f_{min}=45Hz$ . Déterminer en kilomètre par heure la résolution du radar, c'est à dire la plus petite vitesse qu'il est capable de détecter.

Posté par re : Exercice radar routier 21-02-16 à 11:44

Bonjour,
Quelques indications ; il suffit de développer le carré :

$\delta f_{1}=f_{0}\left[\left(1+\frac{v_{1}}{c}\right)^{2}-1\right]=f_{0}\left(1+2\frac{v_{1}}{c}+\left(\frac{v_{1}}{c}\right)^{2}-1\right)=f_{0}\left[2\frac{v_{1}}{c}+\left(\frac{v_{1}}{c}\right)^{2}\right]$

Si $\frac{v_{1}}{c}\ll1$ alors : $\left(\frac{v_{1}}{c}\right)^{2}\ll\frac{v_{1}}{c}$ ; d'où l'expression simplifiée :

$\boxed{\delta f_{1}=2f_{0}\cdot\frac{v_{1}}{c}}$
Il y a bien une erreur dans la formule donnée.

Posté par re : Exercice radar routier 21-02-16 à 12:55

Merci vanoise !

Du coup, le reste du problème est solvable facilement.

Q2 :
b. $\delta f_1=4467,592593 Hz$

Q3 :
$\delta f_2=50 m/s = 180 km/h$

Q4 :
$v_{min}=0,28 m/s = 1 km/h$

Posté par re : Exercice radar routier 21-02-16 à 14:44

Pour moi :

f"1 = fo * (c + v)/(c - v) ce qui est différent de ce que tu as trouvé dans Q1.c

ceci vient du fait qu'au début (onde aller) la source est fixe et le récepteur(auto) est mobile.
Et pour l'onde retour, l'émetteur devient l'auto (mobile) et le récepteur est le radar fixe.

Donc le début de ton raisonnement est, pour moi, à corriger.
-----

Ceci donne : f''1 = 24,125.10^9 * (3.10^8 + 100/3,6)/(3.10^8 - 100/3,6) = 24 125 004 468 Hz

Delta f1 = f''1 - fo = 4468 Hz
-----

f''1 - fo = fo * (c + v)/(c - v) - fo
f"1 - fo = fo . (c+v-c+v)/(c-v)
f"1 - fo = fo . 2v/(c-v)

Et si c > > v, alors f"1 - fo presque = fo . 2v/c

et on a : fo . 2v/c = 24,125.10^9 * 2*(100/3,6)/(3.10^8) = 4468 Hz ... ce qui correspond bien à ce qui a été trouve avant.
-----
Sauf distraction.

Posté par re : Exercice radar routier 21-02-16 à 15:56

Bonsoir

Citation :
f"1 = fo * (c + v)/(c - v) ce qui est différent de ce que tu as trouvé dans Q1.c

Toutes les formules proposées dans cet exercice ne sont que des approximations des formules exactes qui relèvent de la relativité. Toutes les formules proposées ici supposent donc implicitement v<<c. Dans ces conditions , au premier ordre près en v/c :

$f_{0}\cdot\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}=f_{0}\cdot\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)^{-1}=f_{0}\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}=f_{0}\left(1+2\frac{v}{c}\right)$
De toutes façons, trouver un écart de 2 sur le dixième chiffre significatif alors que c est fourni avec 3 chiffres significatifs et f_o avec 5 n'a pas de sens physique !

Posté par re : Exercice radar routier 21-02-16 à 19:04

Petit complément à mon message précédent, même si cela n'est pas vraiment dans l'esprit de cet exercice . La façon la plus rapide et la plus rigoureuse de traiter cet exercice consiste à évoquer les lois de la réflexion des ondes électromagnétiques sur les surfaces métalliques qui sont les mêmes que celles de l'optique. TomRlr a sûrement étudié en optique qu'un miroir donne d'un objet réel une image virtuelle symétrique de l'objet réel par rapport au miroir. Doit "d" la distance radar-voiture et "v₁" la vitesse à laquelle la voiture se rapproche du radar. Pour le récepteur radar, tout se passe comme si la voiture n'existait pas, l'onde reçue étant émise par une source virtuelle située à la distance 2d, émettant une onde de fréquence f_o et se rapprochant du récepteur à la vitesse 2v₁. Dans ces conditions, la formule non relativiste fournie en début d'énoncé donne directement :

$\boxed{f{}_{1}^{,,}=f_{0}\left(1+2\frac{v_{1}}{c}\right)\quad soit\quad\delta f_{1}=f{}_{1}^{,,}-f_{0}=2f_{0}\cdot\frac{v_{1}}{c}}$

le calcul intermédiaire de f'₁ n'est pas indispensable.

Posté par re : Exercice radar routier 22-02-16 à 10:27

Je n'ergoterai pas sur la différence des résultats numériques mais pas d'accord sur le reste.

On ne s'attend pas, je pense, dans cet exercice à inclure les phénomènes relativistes.

Mais, si on comprend ce qui se passe et qu'on tient compte que pour l'onde "aller" le récepteur est la voiture et donc est mobile.
alors que pour l'onde réfléchie, cela revient à avoir la voiture comme émetteur (mobile) et le radar fixe comme récepteur.
... Alors f"1 = fo(1 + v/c)² n'est pas correct.

ON DOIT trouver f''(1) = fo.(1+v/c)/(1 - v/c)
qui revient à ce que j'ai écrit, soit f''1 = fo.(c+v)/(c-v)

Et peu importe si le faux f"1 = fo(1 + v/c)² et le bon  f''1 = fo.(c+v)/(c-v) n'engendrent qu'une différence minimum sur les résultats numériques.
----
On peut parfaitement partir de la formule correcte f''1 = fo.(c+v)/(c-v) et la transformer en tenant compte de la condition v < < c en $f''1  \simeq fo(1 + 2v/c)$ ...

J'aurais trouvé correct ceci :

$f_{0}\cdot\frac{1+\frac{v}{c}}{1-\frac{v}{c}}=f_{0}\cdot\left(1+\frac{v}{c}\right)\left(1-\frac{v}{c}\right)^{-1}\simeq f_{0}\left(1+\frac{v}{c}\right)^{2}\simeq f_{0}\left(1+2\frac{v}{c}\right)$

Mais aboutir dès le début à  f"1 = fo(1 + v/c)²  (avec un signe "égal" et sans bonne justification ) est une erreur qui montre qu'on n'a pas compris la différence entre "une source mobile et un récepteur fixe" et "une source fixe et un récepteur mobile".

Mais chacun pense ce qu'il veut.

Posté par re : Exercice radar routier 22-02-16 à 10:34

Voir sur ce site :

Ils passent par le bon chemin, et arrive à l'approximation correcte sans commettre d'erreur, en partant d'une formule correcte (avec le signe "=")

Et finissent à l'approximation qu'ils ont justifiée avec le signe "\simeq".

Cela c'est

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