Bonsoir
Dans un premier temps, il faut exprimer la fém induite par le déplacement du conducteur de longueur dans le champ magnétique uniforme et permanent. Plusieurs méthodes sont possible. La plus simple consiste à poser :
où représente le flux du vecteur champ magnétique à travers le circuit. Cela suppose de commencer par exprimer la variation élémentaire  du flux entre les instants de dates t et (t+dt), la tige ayant ainsi tourné de l'angle élémentaire . Cela revient à exprimer la variation élémentaire dS de surface du circuit lorsque varie de d.
Connaissant ainsi l'expression de la fém induite e, tu obtiens facilement l'expression de l'intensité i. Cela te donne "l'équation électrique " du circuit.
L'existance de ce courant fait que la tige mobile est soumise à une force de Laplace qui la fait tourner. L'application du théorème du moment cinétique à la tige fournit "l'équation mécanique".
Reste pour finir à tenir compte de ces deux équations....
Voici un exercice sorti il y a quelques mois sur ce forum. Il est différent dans son dispositif mais la méthode de résolution est la même.
Induction magnétique

Bonjour,

Attention au choix du titre, à minima préciser le chapitre abordé parce que "exercice incompréhensible" ne donne aucune idée du thème en question ...

J'avais commencé par marqué que e(t)=d()/dt avec =B.dS (deux vecteurs) puis que =B.i.dS (avec B et i deux vecteurs). Mais je ne vois pas comment lier cela à ou d

Je crois que tu es très loin du compte. Mais le chapitre sur l'induction est sans doute un des plus "subtils" de ton programme...
Le circuit étant supposé plan dans le plan de figure, l'orientation du courant d'intensité I rend le vecteur surface orienté suivant le vecteur unitaire , c'est à dire suivant la direction et le sens du vecteur B. Puisque le champ magnétique est uniforme, pas besoin d'intégrale de surface ! Le flux à un instant donné est  :



Quand varie de d, la tige de rayon balaie un petit triangle rectangle schématisé en bleu sur le schéma. La base de ce triangle a pour longueur : dl=.d. L'aire de ce triangle est donc :


au cours de ce mouvement élémentaire, la surface S du circuit diminue de dS. La variation élémentaire du flux magnétique à travers le circuit est donc :



D'où l'expression de la force électromotrice induite :


Dans un tel problème, bien peu d'étudiant vont penser aux deux signes "-" successifs... Je te laisse continuer selon le plan de travail que je t'ai fourni précédemment.

Merci beaucoup, j'ai réussi la question 2 grâce à cela

Petit problème pour la question 3, j'ai essayé de partir de la question 2 pour trouver une réponse à la 3 mais ça ne mène à rien.
Pour la partie Laplace, je suis partie de:

dF=I.dl^B (avec dF, dl et B des vecteurs)  mais bon...

On notant O le point fixe de la tige et M l'extrémité mobile de la tige en contact avec le demi cercle, tu obtiens simplement pour expression de la force de Laplace (pas de calcul intégral à effectuer) :



Pour le calcul ultérieur du moment de cette force par rapport à l'axe de rotation, tu peux considérer que cette force s'applique au milieu de la tige OM en étant perpendiculaire à celle-ci. Fait bien attention au sens de la force et raisonne algébriquement. Selon la loi de Lenz, il s'agit nécessairement d'une force qui s'oppose au mouvement , une force équivalente à une force de frottement. Tu peux la représenter sur le schéma en supposant la vitesse angulaire . Puisqu'il s'agit ici d'étudier les oscillations amorties de la tige OM équivalente à un pendule dans le champ de pesanteur, le sens de cette force de Laplace changera en fonction du sens du mouvement et donc du signe de .

Je te laisse appliquer le théorème du moment cinétique à la tige en tenant compte du poids et de cette force de Laplace. Cela va te donner « l'équation mécanique ». Il ne te restera plus qu'à la relier à « l'équation électrique » obtenu précédemment. Cela va te donner une équation différentielle du second ordre analogue à celle obtenue pour les oscillateurs avec frottement fluide...

Voici un zoom sur la partie la plus utile du schéma qui pourra peut-être t'aider. Les sens indiqués correspondent à une vitesse angulaire positive.

Bonjour ! J'ai un exercice très similaire au tien à faire, et je me demandais comment tu avais fait la question 2 ? Car perso, pour le moment je n'arrive pas à trouver de lien entre I et sans passer par une bobine, qu'on n'a pas dans cet exercice... Si tu pouvais m'expliquer ce serait parfait !
Merci d'avance

Bonjour, entre temps j'ai remarqué que ma réponse était fausse et depuis je cherche une autre solution que celle que j'avais trouvé (j'avais utilisé la loi d'Ohm).
Désolée...

Pas de soucis, je vais également continuer de chercher, si je trouve quelque chose je te tiendrais au courant :p

Il suffit d'utiliser la loi de Pouillet ou, si tu ne la connais pas, la loi des mailles. Tu as de façon immédiate l'intensité :


Comme je t'ai précédemment fourni l'expression de la fém induite e ...

Effectivement, je n'y avais pas pensé. Merci beaucoup !

Bah, du coup je ne sais pas comment mais j'avais trouvé ça...