Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur le forum et viens demander votre aide car je bloque sur un exercice du livre "900 exercices corrigés" de Feynman.
L'exercice porte sur les lois de kepler et gravitation.

Énoncé : " Une comète orbite autour du Soleil avec un périhélie de rp=1,00*10⁶km. A ce point de la trajectoire, sa vitesse est de v=500km/s.

(a) Quel est le rayon de courbure Rc de l'orbite au périhélie ?

(b)Pour une ellipse [...] le rayon de courbure au périhélie est Rc=b²/a. [...]. Trouver a.

(c)[...], on doit pouvoir calculer la période Tc de la comète. Faites-le"


D'après le livre, les réponses sont :

(a) Rc=1,88*10⁶km

(b)a=rp²/(2rp-Rc)=8,33*10⁶km

(c)Tc=2a^3/2Rc/v*rp4,8j  


Pour la (a) je suis totalement coincé.
En utilisant l'équation paramétrique d'une ellipse, j'en ai déduit les vecteurs vitesse et accélération, et en appliquant les formules de Frenet, je suis finalement tombé sur la formule de la Q(b), le rayon de courbure au périhélie Rc=b²/a.

Pour la (b), c'est ok. C'est une résolution, en utilisant l'équation donnée, les formules reliant les caractéristiques de l'ellipse, et la valeur de Rc d'après la réponse (a).

Pour la (c), j'ai appliqué la 3ème loi de Kepler, connaissant a, G et la masse du soleil.

Mes questions sont :

-Comment trouver le rayon de courbure de l'orbite au périhélie uniquement en connaissant le périhélie et la vitesse de la comète à ce point ? (Question (a))

-Je suppose que la formule de la réponse (c), donnée par le livre, est déduite de la question (a) et de la 3ème loi de Kepler, mais il me semble qu'il y a un problème de dimension dans cette formule ? (l'équation est telle quelle, je ne sais pas si rp est au numérateur ou dénominateur).

J'espère avoir bien respecter les règles du Forum,
Merci d'avance pour votre attention et vos éventuelles pistes.
Bonne journée.