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Exercice écoulement permanent dans une conduite cylindrique.
Bonjour tout le monde.
J'ai un exercice de mécanique des fluides pour lequel j'aurais besoin d'aide. Voici l'énoncé:
On considère l'écoulement (en régime permanent) de l'eau dans une canalisation cylindrique horizontale (figure ci-dessous):
1) L'écoulement s'effectuant de A vers B, représenter le niveau d'eau dans les 2 tubes verticaux au-dessus des points A et B. Justifier.
2) Soient [P][/A] et [P][/B] les pressions mesurées au niveau des sections au niveau des sections (égales au rayon a) situées respectivement en A et en B ([P][/A] > [P][/B]). On se propose d'écrire la relation fondamentale de la dynamique pour le volume cylindrique de longueur L=AB et de rayon r<a. On tiendra compte des forces de pression et de viscosité s'exerçant sur ce volume supposé non accéléré. Projeter cette relation sur l'axe de la canalisation et en déduire le gradient de la vitesse dans la direction perpendiculaire à l'écoulement (dv/dr).
3) Déterminer par intégration le profil de vitesse V(r).
4) En déduire l'expression du débit volumique qv.
5) Faites l'analyse dimensionelle du problème de ce débit volumique supposé dépendre de la différence de pression ([P][/A] - [P][/B]), coefficient de viscosité m, de la longueur L et du rayon de canalisation a.
6) Comparer avec le résultat trouvé dans 5). Conclusion?
Je sais que le niveau d'eau est plus bas dans le tube B à cause de la diminution de la pression par contre je sais pas quelles sont les pertes de charge à prendre en compte ni comment utiliser les lois de Bernoulli et de Poiseuille dans ce contexte. Merci pour votre aide.
Bonjour,
J'imagine que ton écoulement est laminaire ?
Si oui, il s'agit d'une démonstration classique de l'écoulement de Poiseuille, la démonstration pouvant être trouvée à maintes endroits, par exemple ici (mais pas que) : 
Oui tout à fait l'écoulement est laminaire.
Je suppose que je dois partir de la démonstration de l'écoulement de Poiseuille dans un tube, j'obtiens alors une différence de pression mais comment je pars de là pour démontrer que la hauteur en B est plus petite que A, avec la loi d'hydrostatique?
Je ne suis pas sûr qu'on se soit compris : la démonstration proposée te permet de répondre aux questions 2, 3 et 4.
L'analyse dimensionnelle c'est une méthode que tu as très certainement vue (question 5).
Pour la question 1, du fait des frottements sur les parois, il y a une perte d'énergie entre A et B et donc une diminution de la pression : Pa > Pb or tu sais relier la pression à la hauteur d'eau hydrostatique, donc si Pa > Pb, alors ha > hb
Bonsoir.
Est-ce-que je pourrais partir du théorème généralisé de Bernoulli? J'ai pris en compte que les pertes régulières pour un régime laminaire.
Pourquoi donc ?
Justement, tu es dans écoulement de Poiseuille, donc dans un tuyau de rayon R et de longueur L, elle s'exprime :
Merci j'ai fini par répondre à toutes les questions. Je voulais appliquer le théorème de Bernoulli pour répondre à la première question (pour justifier la différence de hauteur entre A et B en introduisant les pertes régulières). J'ai eu PA - PB = 
* e, avec e la perte de charges.
On peut après remonter à l'hauteur avec la * e = * g * h.
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