Niveau maths sup

Exercice cinématique du point

Posté par
Iviod 04-09-16 à 22:45

Bonsoir,

J'ai travaillé un exercice concernant la cinématique du point, mais comme mes réponses sont longues et bizarres, je suis confus si elles sont justes. Je me tourne à vous donc pour me rectifier en cas de faute ou me confirmer mes réponses dans le cas contraire.

Voici l'énoncé de l'exercice :
Un point matériel A décrit dans le plan (xOy) une trajectoire dont les coordonnées polaires sont données par $r(t)=be^{\frac{-t}{\tau }}$ et $\theta (t)=wt. b$ , $w$ et $\tau$ sont des constantes positives.
1) Déterminer les composantes radiales et orthoradiales de la vitesse et l'accélération de A. En déduire les normes de ces vecteurs ainsi que l'angle que fait le vecteur vitesse avec le vecteur position.
2) Déterminer les composantes intrinsèques ( c'est à dire dans la base de Frenet ) de la vitesse et de l'accélération de A.
3) Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.
4) Déterminer l'abscisse curviligne s(t) du point A (On prendre s(0)=0).
5) Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{n}$ et $\vec{T}$ dans la base polaire.

Voici ma solution. Comme je l'ai dit plus haut je n'ai pu faire la 4ème question.
Je mettrai que le résultat final et vaguement comment j'y suis arrivé puisque c'est long , je m'excuse.

1) $\vec{OM}=r.\vec{Ur}=b.e^{\frac{-t}{\tau }}$
$\vec{V}=\frac{-b}{\tau }.e^{\frac{-t}{\tau }}.\vec{Ur}+b.w.e^{\frac{-t}{\tau }}\vec{U_{\theta }}$
$\vec{a}=(\frac{1}{\tau ^{2}}-w^{2}).b.e^{\frac{-t}{\tau }}.\vec{Ur}-\frac{2bw}{\tau }e^{\frac{-t}{\tau }}\vec{U_{\theta }}$
Pour déterminer l'angle j'ai utilisé le produit scalaire : $\vec{V}.\vec{OM}=\left|\left|\vec{V} \right| \right|.\left|\left|\vec{OM} \right| \right|.cos(\alpha )$
On trouve $cos(\alpha) =\frac{-b}{\sqrt{1+(\tau w)^{2}}}$

2) On a $\vec{V}=V.\vec{U_{T}}$ , et $V=b.e^{\frac{-t}{\tau }}.\sqrt{\frac{1}{\tau ^{2}}+w^{2}}$ ( que j'ai précédement calculé pour trouver l'angle $\alpha$ )
Et on a : $\vec{a}=\frac{dV}{dt}.\vec{U_{T}}+\frac{V^{2}}{R_{c}}.\vec{U_{N}}$ en dérivant le module de $\vec{V}$ et en calculant $\vec{V}^{2}$ on trouve : $\vec{a}=\frac{-b}{\tau }.e^{\frac{-t}{\tau }}\sqrt{\frac{1}{\tau ^{2}}+w^{2}}.\vec{U_{T}}+\frac{(b.e^{\frac{-t}{\tau }})^{2}}{R_{c}}(\frac{1}{\tau ^{2}+w^{2}})\vec{U_{\theta }}$

3) Pour trouver le rayon de courbure , j'ai calculé le module de l'accélération dans la base de Frenet , et celle dans la base polaire et j'ai fait l'égalité.
J'ai trouvé : $R_{c}=\frac{\tau ^{2}.w.e^{\frac{-t}{\tau }}}{b}.\sqrt{\frac{1}{1+2\tau ^{2}+\tau ^{4}w^{4}}}$

4) On a $V=\frac{ds}{dt}$ donc en intégrant entre 0 et t , on trouve :
$s=b.\sqrt{1+(\tau w)^{2}}.(1-e^{\frac{-t}{\tau }})$

Je n'ai pas trouvé de réponse pour la 5ème question. J'espère que vous puissiez me donner une indication.

Voilà, l'énonce est simple et court, mais la solution bien longue. J'espère sincèrement que vous puissiez m'aider afin de coriger mes fautes et améliorer mon niveau. Je n'ai pas de solutions pour cet exercice ainsi je me remets totalement à vous.

Merci d'avance !

Posté par re : Exercice cinématique du point 05-09-16 à 15:00

Bonjour
Tu as bien travaillé ! D'accord avec toi pour les expressions de la vitesse et de l'accélération. Pour le rayon de courbure, j'ai un peu anticipé la question 5) en écrivant :

$\overrightarrow{u_{T}}=\frac{\overrightarrow{V}}{V}=\frac{b.e^{-\frac{t}{\tau}}.\left[-\frac{1}{\tau}\cdot\overrightarrow{u_{r}}+\omega\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}\right]}{b.e^{-\frac{t}{\tau}}.\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}}=\frac{-\frac{1}{\tau}\cdot\overrightarrow{u_{r}}+\omega\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}}{\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}}$
D'où l'expression de l'accélération tangentielle :

$\overrightarrow{a_{T}}=\frac{dv}{dt}\cdot\overrightarrow{u_{T}}=-\frac{b}{\tau}\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}\cdot\frac{-\frac{1}{\tau}\cdot\overrightarrow{u_{r}}+\omega\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}}{\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}}=b\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\left[\frac{1}{\tau^{2}}\cdot\overrightarrow{u_{r}}-\frac{\omega}{\tau}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}\right] \\$
Par soustraction avec l'expression du vecteur accélération, on obtient celle de l'accélération normale :

$\overrightarrow{a_{N}}=-b\cdot\omega\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\left[\omega\cdot\overrightarrow{u_{r}}+\frac{1}{\tau}\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}\right]\quad;\quad a_{N}=b\cdot\omega\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}=\frac{V^{2}}{R_{c}}=\frac{\left(b\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}\right)}{R_{c}}$

$R_{c}=\frac{b\cdot\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}}{\omega}$
D'accord avec ton expression de s. Pour le vecteur normal, la méthode est analogue à celle utilisée pour le vecteur tangent :

$\overrightarrow{n}=\frac{\overrightarrow{a_{N}}}{a_{N}}$

Posté par re : Exercice cinématique du point 05-09-16 à 22:21

Merci énormément pour votre réponse.

Votre méthode est très intéressante. Je pense que j'ai fais une erreur de calcul à propos de Rc.

Merci encore !

Posté par re : Exercice cinématique du point 06-09-16 à 12:24

Bonjour

Citation :
Je pense que j'ai fais une erreur de calcul à propos de Rc.

On peut remarquer que le cas limite :

$\frac{1}{\tau}\rightarrow0$
correspond au cas particulier simple du mouvement circulaire uniforme de rayon b et de vitesse angulaire

. Cette remarque permet de détecter certaines erreurs de calculs (pas toutes...)

Posté par re : Exercice cinématique du point 06-09-16 à 17:16

Merci pour votre remarque et vos précédents réponses. J'aimerai toutefois signaler ce qu'il me parait comme erreur de frappe:

vanoise @ 05-09-2016 à 15:00

$R_{c}=\frac{b\cdot\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}}{\omega}$

Je pense que c'est $R_{c}=\frac{b.e^{\frac{-t}{\tau }}.\sqrt{\frac{1}{\tau ^{2}}+w^{2}}}{w}$

Posté par re : Exercice cinématique du point 06-09-16 à 17:59

Tu as raison ! Si on part de la relation déjà écrite le 05-09-16 à 15:00:

$a_{N}=b\cdot\omega\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\cdot\sqrt{\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}}=\frac{V^{2}}{R_{c}}=\frac{\left(b\cdot e^{-\frac{t}{\tau}}\right)^{2}\cdot\left(\frac{1}{\tau^{2}}+\omega^{2}\right)}{R_{c}}$
un terme en exponentielle subsiste bien dans l'expression du rayon de courbure ! Dans cette expression, la limite quand est bien b comme attendu.
Désolé pour cette étourderie de calcul !

Posté par re : Exercice cinématique du point 06-09-16 à 18:58

Je vous prie, c'est normal ^^

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