Partie 1: Mouvement de l'hypothétique comète C

Chassés par des perturbations gravitationnelles d'un réservoir d'astéroïdes, appelé nuage de Oort et situé au-delà de Pluton, certains planétoïdes suffisamment déviés peuvent s'approcher des planètes intérieures du système solaire. Proche du soleil, ils prennent le nom des comètes.  La comète C sera considérée sphérique, de rayon Rc = 10⁴ m, de masse m = 2,5.10¹⁵ kg, de période T et de trajectoire elliptique très allongée autour du Soleil. Sa distance maximale à l'étoile est d_max = 5.10⁴r_t avec r_t = 150.10⁶ km (rayon de la trajectoire supposée circulaire de la Terre).

L'énergie potentielle gravitationnelle de la comète dans le champ d'attraction du Soleil s'exprime:
E_p = où G = 6,67.10^-11 S.I. est la constante de gravitation universelle, M_s = 2,00.10³⁰ kg la masse du soleil et r le rayon variable de l'orbite elliptique.

1) Rappeler la relation entre une force conservative F(vecteur) et l'énergie potentielle associée E_p.

2) En déduire l'expression de gravitation F(vecteur) du Soleil sur la comète en fonction de G, M_s, m, r et _r (vecteur des coordonnées cylindriques). Ici, on a grad(E_p) = _r

3) Calculer la valeur F de F(vecteur) lorsque la comète est éloignée au maximum de l'étoile.

4) Cette force est-elle attractive ou répulsive ? Justifier.

5) Pourquoi l'énergie mécanique E_m de la comète est-elle constante ?

6) Exprimer E_m en fonction de G, M_s, m, r et v où r est la distance (variable) de la comète au soleil et v sa vitesse sur sa trajectoire elliptique.