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Etude d'un triangle en rotation
J :'ai mis en bleu mes réponses et mes interrogations
Voici l'enoncé
Un point matériel M de masse m peut se déplacer sans frottements sur une tringle OA, de longueur L fixée, qui fait un angle 
constant avec la verticale.
Cette tringle peut tourner autour de l'axe vertical avec une vitesse 
.
Ce point est lié à deux ressorts identiques de raideur k et de longueur à vide l0.
L'un est accroché en O, l'autre est accroché en A
La longueur OA est telle que L>2l0
On note OM=x
On se propose d'étudier le mouvement de M en fonction de
La tringle OA est au repos dans le référentiel du laboratoire (=0)
Déterminer par la méthode de votre choix, la position d'équilibre x0 du point M, si elle existe.
J'ai trouvé x0=(mg cos()+kL)/2k
Que vaudrait x0 si =
/2 ? Vérifier votre résultat grace à une analyse rapide.
[bleu][bleu]J'ai trouvé x0=L/2
Mon analyse : la tige est horizontale à =/2, les tensions du ressort sont nulles, la réaction de la tige est perpendiculaire à l'axe donc la réaction s'annule sur le projeté de l'axe x et la seule force qui travaille est le poids
f=0 p=O[/bleu]
La somme des forces est égale à 0, donc la force p vaut 0[/bleu]
Cette position est-elle stable ? Justifier
La position est stable car la longueur des 2 ressorts sont égales
La tringle OA est animée d'un mouvement de rotation uniforme
Déterminer grâce à l'énergie potentielle, la position d'équilibre x1 du point M, si elle existe
JE ne sais pas comment trouver la position x1
Est ce que mon travail vous semble bon pour l'instant
Bonjour
Il semble bien, en lisant la totalité de l'énoncé, que le concepteur de l'énoncé à envie de faire intervenir l'énergie potentielle associée aux forces d'inertie même si, pour les premières questions, il laisse le choix de la méthode. Il faut donc raisonner dans le repère tournant...
Pour être plus précis: un équilibre stable correspond à un minimum d'énergie potentielle et un équilibre instable correspond à un maximum d'énergie potentielle dans le repère tournant non galiléen
Merci pour votre réponse
Je voudrais savoir si mon calcul pour x1 est correct :
La tringle OA est animée d'un mouvement de rotation uniforme
Déterminer grâce à l'énergie potentielle, la position d'équilibre x1 du point M, si elle existe
On sait que les forces qui s'exercent sur le système sont le poids, les deux tensions des ressorts et la force d'inertie d'entraînement sont sur l'axe de la tringle et sont conservatrices. On projette sur l'axe OM
Leur énergie potentielle est :
Ep (P) = -mg.OM
Ep (T1) = +(k/2) (x1-l0)²
Ep (T2) = +(k/2) (L-x1-l0)²
Ep (Fie) =+ m².HM cos((/2)-)
Soit Ep totale = -mg.OM.cos+(k/2) (x1-l0)²+(k/2) (L-x1-l0)²+ m².HM cos((/2)-)
On dérive :
0=dEp totale/dx=mg.os+kx1-kl0-kL+kx1+kl0+ m².sin
x1=(mgcos+kL-m².sin)/2k
Retrouver l'expression x0 si =0
x1=((mgcos+kL)/2k=x0
J'ai mis en bleu mes réponses
Merci pour votre aide
Bonsoir
Ton premier message ne tient pas compte de la rotation... Pour le second :
Pour les énergies potentielles correspondant à une distance x= OM quelconque :
pesanteur : : il faut prendre en compte la différence d'altitude entre O et M et pas la distance OM.
élastique : d'accord avec toi : pour les deux ressorts :
Pour l'énergie potentielle associée à la force d'inertie centrifuge, il faut que tu revois ton cours sur le sujet. Demande de l'aide si nécessaire.
Restent deux autres forces :
La réaction de la tige sur la masse : en absence de frottement, cette force ne travaille pas ; l'énergie potentielle associée peut être choisie nulle.
La force d'inertie de Coriolis ; la puissance de cette force étant nulle à chaque instant, cette force ne travaille pas ; l'énergie potentielle associée peut être choisie nulle.
Je te laisse continuer.
Merci pour votre aide
J'ai donc refait mes calculs et j'ai trouvé :
Ep (P) = -mg.OM
Ep (T1) = +(k/2) (x1-l0)²
Ep (T2) = +(k/2) (L-x1-l0)²
Ep (Fie) =-1/2 m.²HM² cos((/2)-)
Soit Ep totale = -mg.OM.cos+(k/2) (x1-l0)²+(k/2) (L-x1-l0)² -1/2 m.²HM² cos((/2)-)
On dérive :
0=dEp totale/dx=mg.cos+k(x1-kl0-kL+kx1+kl0- m².sin()x1
x1=(mgcos+kL/2k-m²sin()
Retrouver l'expression x0 si =0
x1=((mgcos+kL)/2k=x0
Etudier la stabilité en fonction de
Plus tend vers 0, plus la stabilité du point M augmente
L'expression de la réaction R est-elle modifiée selon que M est en équilibre ou en mouvement dans le référentiel de la tringle ?
La réaction du support R est toujours perpendiculaire à la tringle
L'expression de la réaction R n'est pas modifiée, seule la longueur du vecteur est modifié.
Voila ce que j'ai fait de plus, est ce correct ?
Merci
Énergie potentielle totale :
La dérivée par rapport à x vaut :
Je te laisse continuer, en particulier remplir un tableau de variations pour savoir si l'extremum de Ep est un minimum ou un maximum...
Merci pour votre aide
Mon tableau de dérivation
0 x1
Etablir l'équation différentielle du mouvement de M dans le référentiel de la tringle
Par la méthode dynmique
Merci pour votre aide
Mon tableau de dérivation
0 x1 L
f'(x) - 0 +
f(x) (diminue) (augmente)
Plus Ep est minimale plus M est stable
Etablir l'équation différentielle du mouvement de M dans le référentiel de la tringle
Par la méthode dynmique
Etablir l'équation différentielle du mouvement de M dans le référentiel de la tringle
Par la méthode dynamique
PFD
mx''.Ur=mg+RUy-(x-l0)Ur+k(L-l0-x0)Ur62m
Vr.Uz+m²HM.UHM
J'ai trouvé x=(gcos+0²L/2)/(0²-²sin²)
Est ce bon ?
OK pour ton tableau de variations et le fait d'obtenir une position d'équilibre stable. En revanche, la phrase : "Plus Ep est minimale plus M est stable" n'a pas de sens ; ou l'extremum de Ep est un minimum : l'équilibre est stable ; ou l'extremum est un maximum : l'équilibre est instable. "Etre plus ou moins stable" n'a pas de sens physique précis même si, dans le langage courant, l'expression est employée.
Remarque 1 : une situation telle que Ep=constante 
x correspondrait à un équilibre indifférent. La situation ne se rencontre pas dans ce problème.
Remarque 2 : tu pourrais réfléchir au réalisme de ce modèle : vérifier par exemple que la relation fondamentale de la statique conduit bien à la même position d'équilibre sans pour autant permettre simplement une étude de la stabilité de l'équilibre . Que se passe-t-il quand devient très grand ?
Pour l'étude dynamique, compte tenu du travail déjà effectué, le plus simple consiste à exprimer l'énergie cinétique puis l'énergie mécanique. En absence de frottement, l'énergie mécanique se conserve :
Cela va te conduire à l'équation différentielle vérifiée par x = h(t).
Remarque : une étude dynamique utilisant la résultante des forces et le principe fondamental de la dynamique est possible mais il faut alors étudier l'éventuelle influence de la force d'inertie de Coriolis. Compte tenu de tout le travail déjà fait sur l'énergie potentielle, le raisonnement sur la conservation de l'énergie mécanique est plus rapide et plus cohérent.
Je te laisse réfléchir à tout cela et continuer...
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