Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Equation différentielles
Bonjour,
Voila j'ai du mal à comprendre une démonstration dans mon cours sur une équation différentielle avec un 2eme terme.
La voici :
+ bV = a
Si V= Vlim alors =0
On peut écrire 0+ bVlim= a
La différences entre les deux équations donne : + b(V-Vlim)=0
On sépare les variable s : avec
)
Jusque la ca va et c'est la que cela me pose problème :
On pose u = V-Vlim (changement de variable)
donc : V-V0= (Vlim-Vo)(1-e
En ecrivant que V =
On a : x-x0 = V0t + (Vlim-V0)[t-taux(1-e)]
Je ne comprend pas à partir du changement de variable.
J'espère avoir été assez clair.
Merci
Bonsoir.
u=V-Vlim, donc du=dV, donc dV/(V-Vlim)=dV/u=du/u=d(lnu)
On a donc :
d(lnu)=-dt/tau (c'est tau et non pas taux, tau est la lettre grecque 
)
On intègre :
ln(u)-ln(u0)=ln(u/u0)=-t/tau
On compose par l'exponentielle :
u/u0=exp(-t/tau)
u=-u0exp(-t/tau)
Sachant que u=V-Vlim, et u0=V0-Vlim :
V-Vlim=(V0-Vlim)(exp(-t/tau))
V=Vlim + V0exp(-t/tau) -Vlim(exp(-t/tau))
V-V0=Vlim-Vlimexp(-t/tau) + V0exp(-t/tau) -V0
En factorisant, on retrouve bien :
V-V0=(Vlim-V0)(1-exp(-t/tau))
Puis, si V=dx/dt, on intègre l'expression V obtenue :
x-x0-v0t=(Vlim-V0)(t+tau*exp(-t/tau))
donc :
x-x0=v0t + (Vlim-V0)(t + tau*exp(-t/tau))
Tu pourrais détailler comment tu passe de :
" On a donc :
d(lnu)=-dt/tau (c'est tau et non pas taux, tau est la lettre grecque )
On intègre :
ln(u)-ln(u0)=ln(u/u0)=-t/tau "
Et : "Puis, si V=dx/dt, on intègre l'expression V obtenue :
x-x0-v0t=(Vlim-V0)(t+tau*exp(-t/tau))
donc :
x-x0=v0t + (Vlim-V0)(t + tau*exp(-t/tau)"
Je sais que ce sont encore des histoire de dérivés et d'intégrale mais je bloque un peu...
Tout le reste est limpide! Merci pour ton explication!
" On a donc :
d(lnu)=-dt/tau (c'est tau et non pas taux, tau est la lettre grecque )
On intègre :
ln(u)-ln(u0)=ln(u/u0)=-t/tau "
D'après le théorème fondamental de l'analyse,
a
bf'(t)dt=f(b)-f(a).
Avec une écriture "à la physicienne" :
[sub]abdf=f(b)-f(a)
En particulier,
[sub]abdln(u)=ln(u(b))-ln(u(a)) (ne pas oublier le "d", sinon ça ne marche pas)
On veut intégrer l'équation d(lnu)=-dt/tau. Mais encore faut-il connaître les bornes d'intégration.
À droite c'est simple, on a du "dt", donc on intègre le temps, disons de l'instant t=0 à t=t.
Donc :
[sub]0t(-dt/tau)=-(t-0)/tau=-t/tau
À gauche, il va falloir s'adapter car on n'intègre pas sur le temps mais sur la variable u. Mais en fait, en écrivant u(t), alors finalement ça revient à intégrer sur le temps.
u varie de u0=u(t=0) à u(t) que l'on note u pour abréger :
[sub]0td(ln(u(t)))=ln(u(t))-ln(u(0))=ln(u)-ln(u0)=ln(u/u0)
D'où ln(u/u0)=-t/tau
"Puis, si V=dx/dt, on intègre l'expression V obtenue :
x-x0-v0t=(Vlim-V0)(t+tau*exp(-t/tau))
donc :
x-x0=v0t + (Vlim-V0)(t + tau*exp(-t/tau)"
Pareil.
On veut intégrer l'équation : V-V0=(Vlim-V0)(1-exp(-t/tau))
Sachant que V=dx/dt, on aura à gauche
[sub]0t(V-V0)dt=[sub]0tVdt-[sub]0tV0dt
Or
[sub]0tVdt=[sub]0t(dx/dt)dt
=
[sub]0tdx
=x(t)-x(t=0)
=x-x0 pour abréger
et
[sub]0tV0dt=V0(t-0)=V0t
À droite :
[sub]0t(1-exp(-t/tau))dt=[sub]0tdt-[sub]0texp(-t/tau)dt
D'une part :
[sub]0tdt=t-0=t
D'autre part :
[sub]0texp(-t/tau)dt=-tau*exp(-t/tau)
En regroupant tout, on arrive à ce qui suit.
Merci beaucoup pour l'explication
Une dernière question : comment passe tu de 0--->texp(-t/tau)dt
à -tau*exp(-t/tau) N
dérive -tau*exp(-t/tau) et tu verras que tu retombes sur exp(-t/tau)
Sachant que exp(u) a pour dérivée u'exp(u) (où u est une fonction)
Annuler
connectez vous