Bonjour,

Le problème est à une dimension et les deux variables sont le temps t et la vitesse v.

La séparation des variables revient à isoler les variables et à intégrer :
L'équation peut se réécrire comme
dt  = - (g*v2/vl² + g)dv

que tu sais intégrer..

Mea culpa pour l'erreur de signe.

Non, désolé, la réécriture que t'as écrit magisterien est fausse... Les éléments infinitésimaux (dt) et (dv) ne sont pas à leur bonne place...

J'ai la "solution" (merci la TI-92) mais je galère un peu pour intégrer de manière élégante...

arff.. oui trop vite sur ce coup là mais le fond y est ;p

Je te fais la version "courte" en t'épargnant des calculs inintéressants...

Voici comment j'ai procédé (peut-être pas la méthode la plus performante...) :

J'arrive à l'expression suivante :

dv/(v² - vl²) = (-g/vl²).dt
('-' devant le g parce que je ne voulais pas me traîner un '-' devant le v², ça facilite l'intégration !)

C'est à partir de là que ça devient chaudement "technique"...



Au départ, j'étais parti sur le fait que (v² - vl²) = (v + vl)(v - vl).

Le terme 1/(v² - vl²) = 1/[(v + vl)(v - vl)] qui se décompose en éléments simples suivant:  A/(v + vl) + B/(v - vl) tel que, si on réduit au même dénominateur, il faut que [A(v+vl)+B(v-vl)]/[(v + vl)(v - vl)] = 1/[(v + vl)(v - vl)]

Bon, c'était un peu galère l'identification des coefficients A et B, y'a des termes de v, vl, ², etc... Bref !



Je suis donc parti sur une autre façon...

Repartant de dv/(v² - vl²) = (-g/vl²).dt, j'ai fait passé le (1/vl²) de droite à gauche donc...
vl².dv/(v² - vl²) = (-g).dt

Je simplifie donc par vl² :
dv/[(v/vl)² - 1] = (-g).dt

Et là, après quelques essais rapides et "infructueux", je pose le changement de variable suivant :
X = (v/vl) dX = d(v/vl) = dv/vl dv = vl.dX

Ainsi,
dv/[(v/vl)² - 1] devient vl.dX/[X² - 1]


Le terme 1/[X² - 1] = 1/[(X+1)(X-1)] peut se décomposer en éléments simples A/(X+1) + B/(X-1)
de sorte que, en réduisant au même dénominateur, [A(X-1) + B(X+1)]/[(X+1)(X-1)] = [(A+B).X + (B-A)]/[(X+1)(X-1)] doit être égal à 1/[(X+1)(X-1)]

Par identification,
(A+B) = 0 et (B-A) = 1

Donc A = (-1/2) et B = (1/2)


- Je t'épargne la substitution, la tripatouille dans l'équation, les changements de signes et de sens, ...-

J'arrive donc à :
[1/(X+1) - 1/(X-1)].dX = (2g/vl).dt

Et là, j'intègre car je reconnais des dérivées de ln( )

ln(X+1) - ln(X-1) = (2g/vl).t + Cste

Ce qui se réduit à la forme suivante :

ln[ (X+1)/(X-1) ] = (2g/vl).t + Cste

Et comme X = (v/vl)

La solution cherchée est donc de la forme : ln[ (v + vl)/(v - vl) ] = (2g/vl).t + Cste



(Remarque :
Ma TI-92 m'a donné ln(v-vl)/(2vl) - ln(v+vl)/(2vl) = Cste - gt/vl² ce qui après triturage est la même chose que ma solution).


Maintenant, faudrait déterminer la valeur de la constante d'intégration et passer à l'exponentiel pour pouvoir exprimer la fonction v(t)...

(Mais j'ai arrêté là, me sentait pas de pousser plus loin à ce stade !!! )