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équation différentielle du second ordre (électricité)

Posté par
lyry19 19-12-16 à 19:01

Bonsoir,

C'est tout simple mais je n'y arrive pas... je ne comprends pas les ordres de grandeurs :
Pour l'equation diff de 2nd ordre en physique, si les valeurs devant s(t) sont en ms et que nous voulons en s, il faut faire x10^-3 ça ok!
Si on a :
2(d2s/dt2) + (ds/dt) + 5s(t) = e(t)

Les valeurs sont en ms, et nous voulons les mettre en s. De plus, on divise tout par 5 pour avoir 1 devant s(t)
Mais comment trouve-t-on le résultat ci-dessous : (surtout 10^-2)
4*10^-7(d2s/dt2) + 2*10^-2(ds/dt) + s(t) = 0,2e(t)

Merci pour votre aide
Bonne soirée

Posté par
diracre : équation différentielle du second ordre (électricité) 20-12-16 à 01:48

Hello

\frac{1}{5}10^{-3} = 2.10^{-4}

Le facteur 2.10^{-2} est donc erroné

PS: et bien sûr "e(t)" dans les 2 équations sont 2 fonctions différentes

Posté par
lyry19re : équation différentielle du second ordre (électricité) 20-12-16 à 08:52

Merci beaucoup, je comprends mieux. Il y a donc une erreur dans le corrige. Je vous souhaite de bonnes fetes.

Posté par
diracre : équation différentielle du second ordre (électricité) 20-12-16 à 09:05

itou

Posté par
lyry19re : équation différentielle du second ordre (électricité) 28-12-16 à 14:22

je me repose une question pourquoi le s(t) n'est pas multiplié par 10^-3 puisque l'on veut convertir le ms en s ?

merci pour votre aide

Posté par
diracre : équation différentielle du second ordre (électricité) 29-12-16 à 08:21

Citation :
s(t) n'est pas multiplié par 10^-3


Non, on n'effectue pas de multiplication pour s, on effectue un changement de variable. C'est à la variable que l'on applique un coefficient. Ta confusion vient peut être du fait que la notation t est utilisée indifféremment "avant après" ce changement de variable.

Je reprends

Soit t le temps en ms et T le temps en s

t = 10^3T   donc   \frac{dT}{dt}= 10^{-3}

Si par hasard  t = 10^3T  te gêne encore, imagine que tu mesures le temps d'Usain Bolt au 100 m:

- exprimé en secondes  T = 9,58s  (je viens de vérifier!)
- exprimé en millisecondes  t = 9580 ms (je viens de multiplier par 1000 )

et donc:

\frac{ds}{dt}= \frac{ds}{dT}.\frac{dT}{dt}=10^{-3}. \frac{ds}{dT}

\frac{d^2s}{dt^2}= \frac{d^2s}{dT^2}.(\frac{dT}{dt})^2=10^{-6}. \frac{d^2s}{dT^2}

Et donc

2(d^2s/dt^2) + (ds/dt) + 5s(t) = e(t)

devient, après le changement de variable

2.10^{-6}(d^2s/dT^2) +   10^{-3} (ds/dT) + 5s(T) = e(T)

Je suis certain que là on est bon, ou bien?

Posté par
lyry19re : équation différentielle du second ordre (électricité) 29-12-16 à 09:55

Merci beaucoup j'ai très bien compris avec vos explications !☺

Posté par
J-Pre : équation différentielle du second ordre (électricité) 29-12-16 à 11:06

Il me semble qu'il y a un soucis.

Si on résout les 2 équations (celle avec t et celle avec T donnée par dirac) par Wolfram avec des conditions initiales faciles (par exemple s(0) = 0 et s'(0) = 1 non contestable  puisque t = 0 entraîne T = 0)

On a les expressions de s(t) et de s(T) (sorties par Wolfram)

Mais en calculant les valeurs numériques de s l'une pour t =  1000 (ms) et l'autre pour T = 1 (s), ces valeurs numériques sont différentes.

Donc, soit je me suis trompé,  soit il y a un os quelque part.

Pour ma part, il me semble qu'on devrait avoir ;

2.10^-5 d²s/dT² + 10^-3 ds/dT + 5.s(T) = e^(1000T)

Et ainsi, quand on entre t = 1000 (ms) ou T = 1 (s) dans les solutions données par Wolfram ... les valeurs numériques de s(t = 1000) et de s(T = 1) sont identiques.

A vérifier.  

Posté par
lyry19re : équation différentielle du second ordre (électricité) 29-12-16 à 12:06

Mais il me semble que cela donne
2.(10^-3)^2 d²s/dT² + 10^-3 ds/dT + 5.s(T) = e^(1000T)

Je divise en suite chaque terme par 5 ce qui me dinbe au final
4*10^-7(d2s/dt2) + 2*10^-4(ds/dt) + s(t) = 0,2e(t)

Non ?

Posté par
diracre : équation différentielle du second ordre (électricité) 29-12-16 à 12:33

Hello

Wolfram, Python, ... plein d'outils sympa qu'il va falloir que je m'approprie ...

Revenons à notre sujet:

Concernant le 2nd membre, j'avais précisé lors de ma première réponse

Citation :
PS: et bien sûr "e(t)" dans les 2 équations sont 2 fonctions différentes


Par exemple si e(t) = cos(t) dans la 1er équation  e(T) = cos(1000T) dans la 2nde comme le souligne JP

Concernant l'équation sans second membre, menons la résolution des 2 équations différentielles  pour nous rassurer:

La solution générale de la première équation est:

\Delta = -39

s(t) = e^{-\frac{t}{4}}.(A.cos\frac{\sqrt{39}t}{4} + B.sin\frac{\sqrt{39}t}{4} )

Avec s(t=0) = 0  et  s'(t=0) = 1

La solution devient

s(t) = \frac{4}{\sqrt{39}}e^{-\frac{t}{4}}.sin\frac{\sqrt{39}t}{4}

La solution générale de la seconde équation est:

\Delta = -39.10^{-6}

s(T) = e^{-\frac{10^3T}{4}}.(A.cos\frac{10^3\sqrt{39}T}{4} + B.sin\frac{10^3\sqrt{39}T}{4} )

Avec s(T=0) = 0 et   bien sûr    s'(T=0)= 10^3

La solution devient

s(T) = \frac{4}{\sqrt{39}}e^{-\frac{10^3T}{4}}.sin\frac{10^3\sqrt{39}T}{4}

Les points d'attention sont donc:

- penser à bien gérer le changement de variable dans le second membre également
- penser également à prendre l'effet du changement de variable dans les C.I.

On a bon?


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