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Equation différentielle du premier ordre

Posté par
Valentino44 26-10-15 à 12:17

Bonjour,

J'ai un exercice ou j'aboutis à l'équation différentielle suivante :

\dot{w}^2 + w^4 = k

avec w = \dot{\theta} et k une constante.

On me demande d'exprimer w en fonction de theta, je ne vois pas du tout comment faire.

Pourriez-vous m'aider ? Merci d'avance.

Posté par
vanoisere : Equation différentielle du premier ordre 27-10-15 à 15:06

Bonjour,
Je suis curieux de connaître le contexte physique qui te conduit à une telle équation différentielle. Si tu pouvais m'éclairer : d'avance merci !
Pour la résolution, il faut peut être dériver par rapport au temps, résoudre l'équa. dif. puis ajuster la constante pour obtenir la compatibilité avec la première expression.
Seulement, la résolution de :
\ddot{\omega}+2\omega^{3}=0
fait intervenir a priori une fonction sinus de Jacobi... Bref : rien de simple, d'où ma question initiale...

Posté par
Valentino44re : Equation différentielle du premier ordre 27-10-15 à 15:20

La situation est la suivante :

Une voiture roule sur une piste circulaire et roule de telle sorte qu'elle accélère constamment à la limite du glissement.
J'aboutis aux équations suivantes :

m\vec{a} = \vec{P} + \vec{R} = \vec{P} + \vec{Tr} + \vec{To} + \vec{N} (Tr réaction radiale, To réaction tangentielle, N réaction normale)

On a alors dans le cas d'un mouvement circulaire :

-mw^2R = Tr (sur la direction radiale)
mR\dot{w} = To (sur la direction tangentielle)
0 = N - mg (sur la direction normale)

Avec les lois de Coulomb on a comme on se situe toujours à la limite du glissement : ||\vec{T}|| = f||\vec{N}||
C'est à dire : mR\sqrt{w^4 + \dot{w^2}} = fmg

D'où mon équation différentielle :

\dot{w^2} + w^4 = (\frac{fg}{R})^2 = k

Il y a peut-être une erreur, dans ce cas si vous la trouvez ça m'aiderait beaucoup, merci d'avance !

Posté par
vanoisere : Equation différentielle du premier ordre 27-10-15 à 16:12

Tes équation sont correctes à condition d'assimiler le véhicule à une masse ponctuelle. Je crains que cette approximation soit très "grossière" dans ce contexte : les réactions normales ne sont pas du tout les mêmes sur les roues avant ou arrière en phase d'accélération ; elles dépendent des roues motrices (traction, propulsion, 4x4) . De plus, dans un virage, elles ne sont pas les mêmes à l'extérieur et à l'intérieur du virage. Bref : tu as quatre réactions normales toutes les quatre différentes et variables au cours du temps.
J'ai vu passer récemment un problème de concours niveau fin de math spé où il s'agissait de trouver l'accélération maximale d'un véhicule sur route droite horizontale en envisageant successivement une traction, une propulsion et un 4x4 ; cela n'était déjà pas si simple...

Posté par
Valentino44re : Equation différentielle du premier ordre 27-10-15 à 16:16

Oui c'est sur que l'approximation doit être grossière mais l'exercice nous dit qu'on assimile la voiture à un point matériel...

Enfin je ne suis pas sûr qu'il soit nécessaire de résoudre l'équation puisqu'on demande juste w fonction de theta et non du temps. C'est peut-être plus simple ?

Posté par
vanoisere : Equation différentielle du premier ordre 28-10-15 à 13:35

Bonjour,

Citation :
je ne suis pas sûr qu'il soit nécessaire de résoudre l'équation puisqu'on demande juste w fonction de theta et non du temps. C'est peut-être plus simple ?

Effectivement !
On peut remarquer :
\mathring{\omega}=\frac{d\omega}{dt}=\frac{d\omega}{d\theta}\cdot\frac{d\theta}{dt}=\omega\cdot\frac{d\omega}{d\theta}
En tenant compte de tes résultats, on obtient :
\frac{d\theta}{d\omega}=\frac{\omega}{\sqrt{k-\omega^{4}}}
L'intégration conduit à :
2\theta=\arctan\left(\frac{\omega^{2}}{\sqrt{k-\omega^{4}}}\right)
ou mieux :
\tan^{2}\left(2\theta\right)=\frac{\omega^{4}}{k-\omega^{4}}
au final :
\boxed{\omega=\sqrt[4]{\frac{k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}{1+k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}}}
On peut tester la cohérence de ce résultat dans deux cas simples :
1° cas : au bout d'un temps long : le mobile ne peut plus accélérer sous peine de "sortir" de sa trajectoire vers l'extérieur : cela correspond à une accélération angulaire nulle, donc, selon ton calcul, à une vitesse angulaire égale à la racine quatrième de k. Au bout d'un temps long, tan(2)>>1 : on obtient bien le résultat attendu !
2° cas : au démarrage : la vitesse angulaire est très faible ainsi que l'angle de rotation . La réaction radiale est négligeable devant la réaction tangentielle du sol responsable de l'accélération. Selon ton calcul, dans ce cas l'accélération angulaire est voisine de k.
Au démarrage :
\begin{cases} \\ \dot{\omega}\approx\sqrt{k}\\ \\ \text{par intégration :} & \omega\approx\sqrt{k}\cdot t\\ \\ \theta\approx\frac{\sqrt{k}}{2}\cdot t^{2} & \theta\approx\frac{\sqrt{k}}{2}\cdot\frac{\omega^{2}}{k}\\ \\ \omega^{2}\approx2\sqrt{k}\cdot\theta & \text{Dans ce cas :}\\ \\ k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)\ll1 & \tan\left(2\theta\right)\approx2\theta\\ \\ \text{L'expression démontrée se simplifie :}\\ \\ \omega^{2}=\sqrt[]{\frac{k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}{1+k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}}\approx\sqrt{k}\cdot2\theta & \text{Résultat cohérent !} \\ \end{cases}

Posté par
Valentino44re : Equation différentielle du premier ordre 28-10-15 à 14:02

Ouaou c'est super merci beaucoup pour votre travail !
Je comprends ce que vous avez fait mais il me reste l'intégration de d0/dw qui est un peu rapide pour moi. Je vais essayer de la démontrer.

Merci encore !

Posté par
Valentino44re : Equation différentielle du premier ordre 28-10-15 à 15:00

C'est bon j'ai réussi à faire le bon changement de variable ! Mais c'est plus facile quand on connaît le résultat. Toutefois il y a une petite erreur on trouve le résultat suivant :

\boxed{\omega=\sqrt[4]{\frac{k\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}{1+\cdot\tan^{2}\left(2\theta\right)}}}

Sinon ce ne serait pas homogène

Merci beaucoup pour votre aide !

Posté par
vanoisere : Equation différentielle du premier ordre 28-10-15 à 18:46

Exact ! simple faute de retranscription sous latex mais pas terrible pour quelqu'un qui demande de toujours revérifier l'homogénéité et la cohérence des résultats !


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