Hello

Peut être pourrais tu préciser ton équation différentielle, où au moins comment tu "fabriques" 0 et Q

Si la solution est une C.L. de fonctions sinusoidales, c'est que était négatif.

Tu factorises la partie réelle des racines (pour trouver le premier facteur de la solution)
Puis, pour le second, tu réduis la recherche de valeurs possibles aux valeurs réelles.

ça t'éclaires?

Non pas trop. Voilà tout mon calcul :

On me donne la solution de l'équation différentielle et je veux refaire les calculs pour retrouver cette équation :
uc(t)=e^(- t) *(Acos( t)+Bsin( t))

j'ai calculé mon  discriminant =( ₀)²((1/Q²)-4)
r1=(-b/2a)-(-/2a)
je trouve r1 = -( ₀)/2Q)-((₀)*(((1-(1/4Q²))

r2=(-b/2a)+(-/2a)
je trouve r2= -((₀ )/2Q)+((₀)*((1-(1/4Q²))

je sais que
exp₁=exp^r1x donc exp^{-( ₀)/2Q)}*exp^{-((₀)*((1-(1/4Q²))}

exp₂=exp^r2x donc exp^{-( ₀)/2Q)}*exp^{+((₀)*((1-(1/4Q²))}

ensuite Y₀(x)=Aexp^r1(t)+Bexp^r2(t)

exp^{-( ₀)/2Q)}[Aexp^{-((₀)*((1-(1/4Q²))} +Bexp^{((₀)*((1-(1/4Q²))}

exp^{-( ₀)/2Q)}[Acos(-(₀)*((1-(1/4Q²)) +Asin(-((₀)*((1-(1/4Q²))+Bcos((₀)*((1-(1/4Q²)) ((1-(1/4Q²))+Bsin(((₀)*((1-(1/4Q²))

et c'est là que je n'arrive pas à retrouver uc(t)=e^(- t) *(Acos( t)+Bsin( t))

J'ai dû faire une erreur quelque part

Merci pour votre aide

Tu écris:

1)

2)

Donc ton discriminant était négatif => l'équation caractéristique admet des solutions complexes conjuguées




C'est bon? tu peux poursuivre désormais? veux tu que je continue?

J'ai fait avec le i mais j'y arrive toujours pas. Pouvez  vous me montrer s'il vous plait ?

Merci beaucoup. Je dois faire une erreur stupide.

OK

On a donc



Pour simplifier les écritures on pose



La solution générale de essm s'écrit:



où   et   sont des constantes complexes

En utilisant les formules d'Euler



Tu peux écrire également:



où A et B  sont des constantes que tu choisiras réelles pour trouver une solution réelle à ton problème.

C'est bon cette fois?

Je crois qu'il y a une notion que je ne maîtrise plus :
Quelle est la partie réelle et la partie imaginaire ?
Pourquoi on ne garde à la fin que cos et sin?
Pourquoi la partie réelle c'est cos et sin et pourquoi on laisse la partie imaginaire ?

Je suis désolée de buguer sur un truc comme ça 😥

C'est peut être ma formulation qui t'a perturbée

Je reformule en utilisant la conclusion du raisonnement qui avait emporté mon adhésion à la (lointaine) époque où j'étais en taupe:

Les solutions de ton équation à coefficients réels, forment un espace vectoriel sur de dimension 2 (ça se démontre sans trop de pbm)

cos(x) et sin(x) étant 2 vecteurs indépendants dans cet e.v. , la solution générale s'écrit:

y = A.cosx + B.sinx ,  où A et B sont 2 constantes réelles, qu'en physique on détermine généralement par la connaissance des conditions initiales

Arrivé là, soit tout est devenu limpide, soit tu dois me dire que j'ai répondu complètement à côté .  Auquel cas, on reprendra "step by step" la résolution de l'équation différentielle

Je crois que je suis vraiment pas douée et le "step by step" me serait profitable . Je suis navrée de vous prendre de votre temps.

Merci beaucoup d'avance pour votre "step by step"

Hello,

Pas de souci. C'est comme le vélo, tant que l'on est pas à l'aise, on se sent "pas doué".

Tu sembles connaitre / maitriser l'utilisation de l'équation caractéristique pour la résolution de telles équations. Pour ne pas faire un copier/coller d'un cours de maths, peux tu recopier l'équation  que tu dois résoudre et qui te fait produire w0 et Q?

L'équation est r²+((₀*r)/Q)+(₀²)=0

on cherche ensuite le discriminant, je trouve 2 solutions r1 et r2
ensuite Y0(x)=Aexpr1(t)+Bexpr2(t)

Et à partir de là  je ne comprends pas comment on arrive à :

uc(t)=e^(- t) *(Acos( t)+Bsin( t))

Pourquoi prend on la partie réelle et pourquoi la partie réelle est égale à :
(Acos( t)+Bsin( t))

J'ai fait un calcul au brouillon mais je n'ose pas le prendre en photo et le mettre sur le site car je ne sais pas si j'ai le droit.

Merci pour votre aide

step by step:

step 1) donc l'équation que tu as est l'équation caractéristique d'une équation différentielle du genre:

  (le ... signifie: seul ce qu'il y a avant dans ton problème / cours pourrait nous éclairer, mais pour le moment on peut faire sans ...)

step 2) On recherche les solutions (complexes) de l'équation caractéristique:

  

Le discriminant de cette équation est comme tu l'as précisé



step 3) peux tu maintenant argumenter du le signe de ? Et sur les solutions possibles en fonction de ce signe?

J'ai trouvé :

j'ai calculé mon  discriminant =( )²((1/Q²)-4)

r1=(-b/2a)-(-/2a)
je trouve r1 = -( ₀)/2Q)-((₀)*(((1-(1/4Q²))

r2=(-b/2a)+(-/2a)
je trouve r2= -(( ₀)/2Q)+((₀)*((1-(1/4Q²))

NON!

Pas tout à fait:

Tu as 3 cas de figures

1er cas:  >0  (ie ₀ > 2Q , on va supposer Q > 0)
L'équation caractéristique admet alors 2 racines réelles

2eme cas:   = 0 (ie ₀ = 2Q)
L'équation caractéristique admet alors 1racine réelle "double"

1er cas:  <0 (ie ₀ < 2Q)
L'équation caractéristique admet alors 2 racines complexes conjuguées

Peux tu détailler les solutions dans ces 3 cas (je suis pénible, je persiste à penser que t vas y arriver )

Je suis désolée de répondre avec du retard, mais je m'étais plongée dans un gros DM de chimie.

üc+(₀/Q)*u.c+(₀)²uc=₀²E
équation caractéristique
r²+((₀/Q)r+(₀)²=₀²E

1er cas:  >0  solution homogène
r²a+((₀/Q)ra+(₀)²=0

=( ₀)²/Q²)-4₀²=₀²((1/Q²)-4)>0

r1=((--((1/Q²)-4))/2Q

r2=((-+((1/Q²)-4))/2Q

Solution particulière
üc₀+(₀/Q)*u.c₀+(₀)²uc₀=₀²E

uc est une constante donc sa dérivée première et seconde sont égales à 0 :
(₀)²uc₀=₀²E
uc₀=E

uc=uc_a+uc_b
uc=Ae^r1t+Be^r2t+E

2eme cas:   =0

=(₀)²((1/Q²)-4=0

particulière uc est une constante
₀²ub=₀²E
ub=E

r=-b/2a=-(₀/2Q)*(-₀)

puisque ksi=1 et ksi=1/2Q=1
Q=1/2

uc=(A+B)e^-₀t+E

3ème cas
<0
=₀²(1/Q²-4)<0

uc=uA+uB

r1=(-₀/2Q)-j((₀²(4-1/Q))*1/2

r2=(-₀/2Q)+j((₀²(4-1/Q))*1/2

r1=+j
r2=-j

on pose =-₀/2Q et =(₀²(4-1/Q²))/2

uc=Ae^(+j)t+Be^(+j)t
=Ae^te^jt+Be^te^jt

=e^t(A(cos(t)+jsin(-t))+B(cos(t)+jsin(t))

=e^t[(A+B)cos(t)+(A-B)sin(t)]
=e^t(acos(t)+bsin(t)

voilà ce que j'ai fait

Merci

Hello

Il y a quelques coquilles (parenthèses manquantes et dans le 1er cas, un dénominateur incorrect dans l'expression de r1 et r2).

Mais les cas de figures et raisonnements associé me semble tout à fait correct

Tu as en tête que le constantes d'intégration (A et B) se déterminent par de mesures réelles,  généralement la donnée des conditions initiales

As tu enfin digéré le passage, dans le cas où le discriminant est négatif, à une combinaison linéaire de fonction cos et sin?


Enfin, par souci de clarté, tu peux peut être écrire le discriminant sous la forme:

Oui j'ai enfin compris que (A+B)=a
(A-B)=b

et sont des nombres réels

Mais comment faîtes vous pour écrire les fonctions car moi j'utilise sur le site "intégrer un symbole mathématique" mais cela me prend beaucoup de temps et est assez compliqué. Je ne ois pas utiliser correctement le site car je n'arrive pas à faire apparaître comme vous mes équations (par exemple).

Merci vraiment beaucoup pour votre aide.

Je suis content que tu fais compris.

Pour écrire des équations, j'utilise le code Latex (utilisable sur ce site, mais pas que, plus puissant et plus rapide (une fois que l'on a appris les bases) que le module "Equation" par exemple deWord)

Il y a un tuto sur ce site [lien]