Niveau maths sup

Equation differentielle

Posté par
Titi de la TS3 13-01-07 à 18:57

Bonsoir.

Meme si c'est de la physique, les mathématiques jouent tout de même un rôle dans le DM que je suis en train de faire.

En effet je n'arrive pas à demontrer une question.

On a le potentiel $4$V$ qui verifie $4$ \Delta V = 0$ qui est l'équation de Poisson (où bien sur $4$ \Delta$ represente le laplacien en coordonnée cylindrique dont je vous donne la forme $4$ \Delta U = \frac{1}{r} \times \frac{d}{dr}(r \times \frac{dU}{dr}) + \frac{1}{r^2}\times ( \frac{d^2 U}{d \theta^2}).$

On me dit que $4$V$ est de la forme $4$ V(r,\theta)= f(r) \times g(r)$

Donc avec le laplacien sous sa forme cylindrique je reussi, en dérivant simplement l'expression de $4$V$ , à montrer l'égalité suivante:

$5$ r \times \frac{\frac{df}{dr}}{f(r)} + r^2 \times \frac{\frac{d^2f}{dr^2}}{f(r)} = - \frac{\frac{d^2g}{d\theta^2}}{g(\theta)}$

Et ce que je n'arrive pas à montrer c'est qu'il existe K tel que

$5$ r \times \frac{\frac{df}{dr}}{f(r)} + r^2 \times \frac{\frac{d^2f}{dr^2}}{f(r)} = - \frac{\frac{d^2g}{d\theta^2}}{g(\theta)} = K$

Où K doit nécessairement être une constante.

Je remercie tous ceux qui pourront m'apporter aide et soutien dans cet exercice.

Posté par re : Equation differentielle 13-01-07 à 18:58

Euh.. $4$ V(r,\theta)=f(r) \times g(\theta)$

Posté par re:équation différentielle 13-01-07 à 19:17

bonsoir,lemembre de gauche ne dépend que de r celui de droite que de" théta" comme ils égaux ce sont des constantes non?

Posté par re : Equation differentielle 14-01-07 à 19:56

Quelqu'un peut - il me dire la soution de l'équation différentielle:

$4$ r\times \frac{df}{dr} + r^2 \times \frac{d^2 f}{dr^2} - K \times f(r)=0$

Posté par re : Equation differentielle 14-01-07 à 20:18

Je place la situation de mon exercice. En fait il s'agit d'un cylindre considéré comme infini. Le champ E produit une électrisation de la surface du cylindre et produit donc alors un autre champ E' qui vient se superposer au champ extérieur E.

J'ai démontrer que $4$ V(r,\theta) = (A \times r + \frac{B}{r}) cos(\theta)$

Et je n'arrive pas à déterminer A et B en fonction de E et R.

En fait je pense à la relation $4$ \vec{E_T} = -\vec{grad}(V)$ , mais je ne vois ce que cela peut donner à l'infini et à R.

D'autre part j'ai aussi montrer que le champ dans le cylindre est nul.

Merci de vos reponses

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