Niveau licence

équation différentiel

Posté par thsunder 06-04-18 à 10:30

bonjour alors j ai un petit problème j aimerai que l on me dise si j ai bien resolue mon equation diff dans un premier temps puis il y en a une que je n'arive pas a resoudre donc voila la premier
resoudre x²y''-2xy'+2y=x^3
x est un solution de l'equation homogene
donc
on note y=x
y'='*x+
y''=''*x='+'

on remplace y, y' et y''

x²(''*x='+')-2x('*x+)+2x=x^3

donc je develope puis apres j obtien

"*x^3=x^3
donc "=1
'=x+K1
=x²/2+k1x+k2

donc y=x(x²/2+k1x+k2)

maintenant je block lorsque j ai deux solution pour l'equation homogene
j ai vue qu il y a une autre méthode mais je ne sais pas comment m'y prendre

donc voila ce que je doit resoudre

1/2x²y"+2xy'+y=(15/8)*(x)^(1/2)
avec comme solution pour l'equation homogene 1/x et 1/x² et la je ne sais pas compment m'y prendre

Posté par re : équation différentiel 06-04-18 à 11:25

Bonjour
Sur un tel sujet, tu trouveras une aide beaucoup plus efficace sur l'île des maths !

Posté par re : équation différentiel 06-04-18 à 11:33

Alternative :

x²y''-2xy'+2y=x^3

a) Solution triviale : y = 0 (fonction nulle)

b) Si x est différent de 0 :  y''- 2y'/x  + 2y/x² = x

Poser : y = u.x²

y' = x².u' + 2x.u
y'' = x².u'' + 4x.u' + 2u

x².u'' + 4x.u' + 2u - 2x.u' - 4.u + 2u = x

x².u'' + 2x.u' = x

Poser u' = v --> u'' = v'

x².v' + 2x.v = x

a) x = 0 (solution triviale : y = 0 (fonction nulle).)

b) Si x est diff de 0 :

x.v' + 2.v = 1

x.dv/dx + 2v = 1
dv/dx = (1-2v)/x
dv/(1-2v) = dx/x

On intègre : -1/2 * ln|1-2v| = ln|k.x| (avec k une constante)

- ln|1-2v| = 2.ln|k.x|

ln|(1/(1-2v)| = ln|k².x²|

k²x² = 1/(1-2v)

1-2v = 1/(k²x²)

v = [1 - 1/(k²x²)]/2

u' = [1 - 1/(k²x²)]/2

u = x/2 + 1/(2kx) + k'

y = x²*[x/2 + 1/(2kx) + k']

y = x³/2 + x/(2k) + k'.x²

Et si on préfère ... poser 1/(2k) = C1 et k' = C2

y = x³/2 + C1.x + C2.x²

Il y a donc 2 familles de solutions à l'équation différentielle "x²y''-2xy'+2y=x^3" :

a) y = 0 (fonction nulle)

b) y = x³/2 + C1.x + C2.x²

Sauf distraction.