Niveau maths sup

Équation diff. 2nd ordre non linéaire

Posté par
prepaaa 05-03-17 à 16:09

Bonjour,
Je suis amené à résoudre l'équation différentielle :

$\frac{dv}{dt} + \lambda v^2 = g$

Seulement, je bloque car je ne sais pas résoudre ce genre d'équations différentielles avec un carré. Nous en avions déjà rencontré une en cours, nous l'avions dérivée et factorisée. Ainsi, il nous restait un produit de facteurs nuls, et l'on se ramenait à une équation différentille linéaire simple à résoudre. Mais ici, dériver n'amène à rien (aucun terme à mettre en facteur)....
Merci de votre aide

Posté par re : Équation diff. 2nd ordre non linéaire 05-03-17 à 18:03

Bonjour
en séparant les variables, tu obtiens :

$\frac{dv}{g-\lambda.v^{2}}=dt$
Deux méthodes alors suivant ton niveau et ton programme de math.

1° la notion de fonction hyperbolique inverse t'es familière ; on obtient de façon classique en intégrant :

$\frac{\text{argtanh\ensuremath{\left(\frac{\lambda.v}{\sqrt{g.\lambda}}\right)}}}{\sqrt{\text{g.\ensuremath{\lambda}}}}=t+K$
où K est une constante à déterminer à partir des conditions initiales.

2° Sinon, l'identité remarquable sur le différence de deux carrés puis la méthode de décomposition en éléments simples conduit simplement à :

$\frac{1}{g-\lambda.v^{2}}=\frac{1}{\left(\sqrt{g}+\sqrt{\lambda}.v\right)\left(\sqrt{g}-\sqrt{\lambda}.v\right)}\frac{1}{2\sqrt{g}}\left(\frac{1}{\sqrt{g}+\sqrt{\lambda}.v}+\frac{1}{\sqrt{g}-\sqrt{\lambda}.v}\right)$

L'équation différentielle s'écrit ainsi :

$\frac{dv}{\sqrt{g}+\sqrt{\lambda}.v}+\frac{dv}{\sqrt{g}-\sqrt{\lambda}.v}=2\sqrt{g}\cdot dt$

L'intégration est alors facile en faisant intervenir deux logarithmes...

Posté par re : Équation diff. 2nd ordre non linéaire 21-04-17 à 23:57

S'il te plaît peut tu bien me détailler la 1ere méthode. Comment tu fait pour trouver directement la primitive de dV/[g-(c/m)V^2] ?

Posté par re : Équation diff. 2nd ordre non linéaire 22-04-17 à 05:30

C'est un classique des cours de math :

$\int\frac{dx}{1-a.x^{2}}=\frac{\arg\tanh\left(\sqrt{a}\cdot x\right)}{\sqrt{a}}$
Tu trouveras ici des éléments de démonstration :

Posté par re : Équation diff. 2nd ordre non linéaire 22-04-17 à 07:31

Merci

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