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Equation d'état d'un fil élastique

Posté par
crabenfolie 27-12-16 à 21:43

Bonjour , je rencontre des difficultés sur cet exercice :
La longueur d'un fil dépend de deux variables indépendantes : température T et force de traction f.
On donne les coefficients thermoélastiques supposés constants :
_\lambda=\frac{1}{l}(\frac{\partial l}{\partial T})_f, coefficient d'élongation a force de traction constante
_k=\frac{1}{l}(\frac{\partial l}{\partial f})_T, coefficient d'élasticité à température constante

Exprimer l'équation d'état l=g(T, f) en prenant comme état de référence l'état (l_0, T_0, f=0).

Voici ce que j'ai réussi à faire :
\frac{dl}{l}=\lambda dT + kdf
En utilisant les coefficients thermoélastiques j'ai trouvé :
(\frac{\partial l}{\partial f})_T-lk=0\Rightarrow g(f)=C_2e^{kf}+L(T)
(\frac{\partial l}{\partial T})_f-l\lambda=0\Rightarrow g(T)=C_1e^{\lambda T}+k(f)

Et à partir de là je ne sais plus trop comment faire, dans la correction que je possède il est écrit:
\frac{dl}{l}=\lambda dT + kdf
puis:
\partial(ln\frac{l}{l_0})=\lambda dT + Kdf
j'ai du mal à comprendre le passage entre ces deux lignes et la méthodologie à appliquer pour ce genre d'exercice, si vous pouviez m'aider....
En vous remerciant par avance.

Posté par
diracre : Equation d'état d'un fil élastique 27-12-16 à 22:44

Hello

(f o g)'(x) =  (f'og)(x) . g'(x)

donc si f = ln

(ln(g(x)) ' = g'(x)/g(x)

dl/l = d(ln(l))

On a bon?

Posté par
crabenfoliere : Equation d'état d'un fil élastique 27-12-16 à 23:12

Oui je suis d'accord avec ça mais comment faire intervenir l_0 dans l'expression ensuite ?

Au fait, je m'aperçois que j'aurais du écrire :
g(T)=C_1e^{\lambda T}+ K(f) au lieu de k(f).

Posté par
diracre : Equation d'état d'un fil élastique 28-12-16 à 13:06

Hello

Citation :
\partial(ln\frac{l}{l_0})=\lambda dT + Kdf


Cette notation me semble inappropriée  (mais être contredit point ne me dérange  ...), surtout que de l'expression

\frac{dl}{l}=\lambda dT + kdf

vient

d(Lnl)=\lambda dT + kdf

et donc entre les états  (l_0,T_0,0)  et   (l,T,f)

Lnl - Lnl_0 = \lambda (T-T_0) + kf

Et donc

l = l_0.e^{\lambda (T-T_0)}.e^{kf}

Citation :
la méthodologie à appliquer pour ce genre d'exercice


Je ne sais ce que tu regroupes dans "ce genre" d'exercice.  Ce que tu dois avoir en tête c'est de df/f  qui donne une primitive en Ln(f) ainsi que les propriétés des fonctions d'état qui nous ont permis de passer allègrement de l'équation différentielle à "Etat final - Etat initial"

Posté par
crabenfoliere : Equation d'état d'un fil élastique 28-12-16 à 13:47

Merci, d'accord je crois comprendre un peu mieux, mais dans ce cas ai-je le droit d'écrire cela comme ceci :
d(Ln l)=\lambda dT + kdf \Rightarrow Ln l= \lambda T+kf \\ d(Ln l_0)=\lambda dT_0 \Rightarrow Ln l_0= \lambda T_0 \\Ln (\frac{l}{l_0})=\lambda (T-T_0)+kf
Ai-je bon dans la manière de supprimer les différentielles dans les 2 premières lignes ?

Lorsque je dis ce genre d'exercice, je veux parler des exercices dans lesquelles on connaît les dérivées partielles, et qu'il nous faut trouver l'équation d'état à partir de ces dernières.

Posté par
diracre : Equation d'état d'un fil élastique 28-12-16 à 23:50

Citation :
ai-je le droit d'écrire cela comme ceci


euh ... non tu n'as pas le droit

Car tu "bricoles" autour du calcul de primitives ("bricoles" utilisé sans moquerie aucune je te rassure)

Tu pourrais peut être écrire

\int_{l_0}^{l}d(Lnl) = Lnl - Lnl_0 = Ln\frac{l}{l_0}

Par contre (ça y est nous avons mis le doigt sur le sujet de l'exercice) tu ne peux écrire

\int_{l_0}^{l}d(Lnl) =\int_{T_0}^{T}\lambda dT   +  \int_{0}^{f}kdf

que parce que la longueur est une fonction d'état des 2 variables indépendantes T et f

Tu sonnes sans hésiter si pas clair

Posté par
crabenfoliere : Equation d'état d'un fil élastique 31-12-16 à 00:55

C'est bon oui cette fois j'ai bien compris. Merci beaucoup pour votre aide.  

Posté par
diracre : Equation d'état d'un fil élastique 31-12-16 à 12:29

Tant mieux, c'est déjà ça de plus à faire pour 2017

Posté par
Rimire : Equation d'état d'un fil élastique 02-01-17 à 00:13


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