Niveau maths spé

Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions

Posté par
EvDavid 08-03-18 à 23:28

Bonsoir,

Dans un exercice de la détente de Joule Thomson et son application à un gaz réel, j'ai trouvé une certaine difficulté à résoudre une question.

L'équation d'était d'un gaz réel est donnée, en faibles pressions, par:
PV=nRT + B(T)P avec $B(T)=b-\frac{a}{RT^{2}}$
Sachant qu'on a trouvé que l'énergie interne est telle que : $U-U_{0}=\frac{-2a}{TV}+C_{0}.T$
Montrer en faisant une approximation aux basses pressions que : $H=(R+C_{0})T + \frac{b-\frac{3a}{RT^{2}}}{n}P$

Il est bien évident qu'on devra partir de H=U+PV et développer l'expression de U et de PV? seulement je n'arrive pas trop à trouver l'approximation en basses pressions, et surtout où disparait U₀

J'espère que vous pourrez m'aider afin que je puisse avancer dans cette étude.

Merci d'avance

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 09-03-18 à 15:03

Bonjour
Cet énoncé est mal posé car il ne respecte pas l'homogénéité des formules. Ton corrigé tombe dans le panneau : il conserve n quand cela l'arrange et pose n=1mol à d'autres étapes du raisonnement ! Soit on décide dès le départ de raisonner sur le volume molaire Vm en posant :

$P.V_{m}=R.T+b.P-\frac{a.P}{R.T^{2}}$
Soit on décide de raisonner sur n moles et alors PV est une grandeur extensive proportionnelle à n. Les termes correctifs doivent aussi être proportionnels à n. Si a et b restent les deux constantes définies précédemment, il faut poser :

$P.V=n.R.T+n.b.P-\frac{n.a.P}{R.T^{2}}$
Si Co est une capacité thermique molaire, on obtient alors :

$U-U_{0}=\frac{-2n^{2}.a}{TV}+n.C_{0}.T$

$H=U_{0}+\left(n.C_{0}+n.R\right)T+P.\left(n.b-\frac{n.a}{RT^{2}}-\frac{2n^{2}.a}{P.V.T}\right)$
En remplaçant le produit PV à l'intérieur du terme correctif par son expression déduite de la loi des gaz parfaits, cela donne :

$H=U_{0}+\left(n.C_{0}+n.R\right)T+P.\left(n.b-\frac{3n.a}{RT^{2}}\right)$
Attention : U et H sont deux grandeurs extensives soit deux grandeurs proportionnelles à n. Ton corrigé est manifestement faux !

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 09-03-18 à 16:19

Bonjour,

Merci pour votre réponse. Je corrigerai cela sur l'énoncé. Donc l'approximation était de considérer en basses pressions le gaz comme un gaz parfait. Je me demande alors pourquoi on a travaillé dès le début avec l'autre équation...

Merci pour votre aide

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 09-03-18 à 18:29

Tu ne m'as pas bien compris. Il ne s'agit pas de négliger tous les termes correctifs : cela reviendrait à considérer le gaz comme parfait. Un terme correctif est un terme correctif par rapport au comportement de gaz parfait ; il s'agit par hypothèse d'un terme petit devant les termes correspondant au gaz parfait. Soit par exemple à effectuer le produit de PV par un terme correctif $\varepsilon_{1}$ . Il est possible d'écrire :

$PV=nRT+\varepsilon_{2}$ avec $|\varepsilon_{2}|\ll nRT$

Ainsi :

$\varepsilon_{1}.P.V=\varepsilon_{1}.RT+\varepsilon_{1}.\varepsilon_{2}\approx\varepsilon_{1}.RT$
Je veux bien développer l'approximation que j'ai faite précédemment. Sans approximation on obtient :

$H=U_{0}+\left(n.C_{0}+n.R\right)T+P.\left(n.b-\frac{n.a}{RT^{2}}-\frac{2n^{2}.a}{P.V.T}\right)$

$\frac{2n^{2}.a}{P.V.T}=\frac{2n^{2}.a}{T.\left(nRT+nb.P-\frac{naP}{RT^{2}}\right)}=\frac{2n.a}{RT^{2}.\left(1+\frac{b.P}{RT}-\frac{a.P}{R^{2}.T^{3}}\right)}$

$\frac{2n^{2}.a}{P.V.T}=\frac{2n.a}{R.T^{2}}\left(1-\frac{b.P}{RT}+\frac{a.P}{R^{2}.T^{3}}\right)\approx\frac{2n.a}{R.T^{2}}$

les produits (a.b) et (a.a) conduisent à des termes totalement négligeables. Cela revient à remplacer PV par nRT dans le terme correctif seulement.

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 10-03-18 à 02:37

Bonsoir
Pour faire “bonne mesure” à propos de l'homogénéité des équations d'état : l'équation de Van der Waals qui, pour une mole de gaz s'écrit :

$\left(P+\frac{a}{V_{m}^{2}}\right)\cdot\left(V_{m}-b\right)=R.T$

où V_m désigne le volume molaire, devient, en fonction de V, le volume de n moles de gaz :

$\left(P+\frac{n^{2}\cdot a}{V^{2}}\right)\cdot\left(V-n\cdot b\right)=n.R.T$

a et b ayant mêmes valeurs dans les deux formules.

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 10-03-18 à 08:44

Bonjour,

Merci énormément pour votre réponse. Je peux dire que j'ai bien compris maintenant. C'est comme les infiniment petits de deuxième ordre à peu près. ( Ou même des infiniments de deuxième ordre même, en les comparant à RT par exemple ). Merci pour la bonne équation de Van der Waals aussi !

Posté par re : Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions 10-03-18 à 11:29

Tu as raison : il y a une forte analogie avec le fait de negliger un infiniment petit du deuxième ordre devant un infiniment petit du premier ordre.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

Enthalpie d'un gaz réel en basses pressions

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique