Bonjour,

Je cherche à calculer, comme on se l'est proposé, l'énergie potentielle d'interaction gravitationnelle U à l'intérieur d'une boule sans utiliser le théorème de Gauss. Je crois savoir que le résultat est -3/5 * G * M²/R avec M la masse, R=OM le rayon, G la constante de gravitation universelle .

Problème, après plusieurs essais je trouve -3/2 et pas -3/5 comme facteur ...

Je me demande si je peux partir du résultat pour une sphère, et s'il est juste, pour une sphère et à l'intérieur (r<R) j'obtiens U = -4*π*G*m*R*σ = -G*m*M/R où σ est la masse surfacique, M la masse totale de la sphère. J'ai du mal à traduire le fait que l'on soit à l'intérieur en intégrant.

Toujours pour la sphère, on a pu montrer que à l'intérieur comme à l'extérieur (ce sont les bornes de l'intégrale qui changent ensuite pour U selon le cas) que :
dU = -Gm*dm(sphère)/ρ  = -G*m*σ*dS= - G*m*σ*2*π*R²*sin(θ)*dθ/ρ

où ρ = PM, avec P un point portant la masse m, M un point de la sphère. On a avec r=OP et ρ = |PO+OM|² = r²+R²+2rRcos(θ) l'expression :

dU = - G*m*σ*2*π*R*dρ /r.

Je ne suis pas convaincu qu'on puisse réutiliser cet élément différentiel  pour la boule vu qu'à l'intérieur on va faire varier le rayon dont dépend ρ ... mais même en essayant de recalculer cet élément je n'ai pas trouvé -3/5, en fait je crois que je ne sais pas vraiment le réécrire proprement pour la boule (ou alors ce sont les bornes des intégrales)...

Merci d'avance pour qui pourra m'aider à avancer.