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Energie cinétique

Posté par
mikel83 22-03-18 à 18:27

Dans le calcul de l'énergie cinétique d'un solide (considéré comme un ensemble de points matériels) en mouvement de vitesse v=V+omégaxr  (les vecteurs sont en caractères gras) on trouve deux termes:
un terme exprimant l'énergie cinétique de translation associé à la vitesse V, et un terme de la forme (voir pj; la somme portant sur l'ensemble des points du solide).
A la lecture de cette expression, comment peut-on dire qu'il s'agit de l'énergie cinétique d'un mouvement de rotation de vitesse angulaire omega  autour d'un axe passant par le centre d'inertie du solide?

Energie cinétique

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 22-03-18 à 18:30

Excusez moi, j'ai oublié le "Bonsoir à tous"!

Posté par
vanoisere : Energie cinétique 22-03-18 à 18:46

Bonjour
Si je comprends bien tes notations :

\overrightarrow{r}=\overrightarrow{GM}\quad;\quad\overrightarrow{V_{(M)}}=\overrightarrow{\Omega}\wedge\overrightarrow{r}

\Vert\overrightarrow{V_{(M)}}\Vert^{2}=\Omega^{2}.r^{2}.\sin^{2}\left(\overrightarrow{\Omega},\overrightarrow{r}\right)=\Omega^{2}.r^{2}.\left[1-\cos^{2}\left(\overrightarrow{\Omega},\overrightarrow{r}\right)\right]

Or, propriété du produit scalaire :

\cos^{2}\left(\overrightarrow{\Omega},\overrightarrow{r}\right)=\left(\frac{\overrightarrow{\Omega}\cdot\overrightarrow{r}}{\Omega.r}\right)^{2}

Tu devrais pouvoir t'en sortir avec cela...

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 23-03-18 à 19:19

Bonsoir!
Merci pour ta réponse! Je comprends tes calculs, mais je ne vois pas comment on arrive à l'énergie cinétique d'un solide ?

Posté par
vanoisere : Energie cinétique 23-03-18 à 19:27

Tout de même...
Et si tu multiplies par \frac{1}{2}m l'expression du carré de la vitesse que je t'ai fournie puis que tu sommes sur l'ensemble des masses ponctuelles constituant le système ?

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 24-03-18 à 08:59

Bonjour!
Désolé, mais j'étais à côté de la plaque ....
1) j'ai zappé ton indication  concernant le cos² ,
2) je cherchais la complication ailleurs ...
Ouf, c'est OK, je retombe bien sur 1/2 mVm²
Merci pour ton aide!
Cordialement, Mikel

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 24-03-18 à 10:05

Bonjour!
Pour passer à l'écriture indicielle de cette énergie cinétique en utilisant les indices i,k,l  (je ne sais pas pourquoi le j a été zappé?) qui prennent les valeurs 1,2,3 et en utilisant la règle selon laquelle les signes "somme" sont omis et la sommation  par rapport aux valeurs 1,2,3 est sous-entendue pour tous les indices qui se répètent deux fois (dits indices "muets") , on me donne (voir pj).
Pourquoi utilise t-on des indices différents i et l dans le 1er terme, et i et k dans le deuxième terme?

Energie cinétique

Posté par
vanoisere : Energie cinétique 24-03-18 à 11:25

Bonjour
N'ayant pas l'énoncé complet de l'exercice, je fais peut-être fausse route... À ce que j'ai compris : tu travailles ici sur un seul ensemble rigide de points matériels. Pour un seul solide mobile autour d'un axe fixe bien déterminé, il existe un vecteur rotation donné. Les points matériels peuvent être notés Mi, caractérisé chacun par un vecteur position ri. Cela conduit à l'énergie cinétique de rotation de ce solide :

T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\left(\Omega^{2}.r_{i}^{2}-\left(\overrightarrow{\Omega}\cdot\overrightarrow{r_{i}}\right)^{2}\right)

Dans le cas aussi simple d'un solide mobile autour d'un axe fixe , on peut faire beaucoup plus simple en remarquant que chaque point matériel Mi est animé d'un mouvement circulaire autour de l'axe de rotation à la vitesse angulaire \Omega, le rayon de la trajectoire étant HiMi où Hi désigne le projeté orthogonal de Mi sur l'axe de rotation.

V_{i}=\Vert\overrightarrow{H_{i}M_{i}}\Vert.\Omega

T_{rot}=\frac{1}{2}\left(\sum_{i=1}^{N}m_{i}.\Vert\overrightarrow{H_{i}M_{i}}\Vert^{2}\right)\cdot\Omega^{2}

avec :

\sum_{i=1}^{N}m_{i}.\Vert\overrightarrow{H_{i}M_{i}}\Vert^{2}=I_{(\Delta)} : moment d'inertie du solide par rapport à l'axe de rotation.

Remarque : un solide est une distribution continue (du moins à l'échelle macroscopique) de matière. Il serait préférable de remplacer les sommes discrètes par des intégrales :

T_{rot}=\frac{1}{2}\iiint_{solide}\left(\Omega^{2}.r^{2}-\left(\overrightarrow{\Omega}\cdot\overrightarrow{r}\right)^{2}\right)dm

I_{(\Delta)}=\iiint_{solide}\Vert\overrightarrow{HM}\Vert^{2}\cdot dm

Les bornes d'intégration étant à choisir en fonction de la géométrie du solide.

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 24-03-18 à 11:39

Merci pour ta réponse!
Le but est d'écrire la première expression de l'énergie cinétique de rotation du solide  sous une forme générale en notations tensorielles, c'est à dire en fonction des composantes xi ,i des vecteurs r ,   pour ensuite faire apparaître le tenseur Iik des moments d'inertie du corps

Posté par
vanoisere : Energie cinétique 24-03-18 à 11:54

Je comprends déjà mieux ! Pourquoi ne pas noter tout simplement (xi,yi,zi) les coordonnées du vecteur ri et (x,y,z) les trois coordonnées du vecteur rotation instantané ?
Ainsi :

T_{rot}=\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}m_{i}\left(\left(\Omega_{x}^{2}+\Omega_{y}^{2}+\Omega_{z}^{2}\right).\left(x_{i}^{2}+y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right)-\left(\Omega_{x}.x_{i}+\Omega_{y}.y_{i}+\Omega_{z}.z_{i}\right)^{2}\right)

Posté par
mikel83re : Energie cinétique 24-03-18 à 12:23

En fait, je travaille sur l'étude du mouvement du solide  du  livre  Physique Théorique tome I "Mécanique"  de Landau et Lifchitz  et (page 136) et ce sont les notations qu'ils utilisent  pour faire ressortir le tenseur d'inertie et arriver à l'expression générale du Lagrangien sous la forme

Energie cinétique

Posté par
vanoisere : Energie cinétique 24-03-18 à 19:14

En tout cas : l'expression que je t'ai fournie conduit bien aux différents termes du tenseur d'inertie : les trois moments d'inerties

I_{xx}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}\left(y_{i}^{2}+z_{i}^{2}\right) puis Iyy et Izz

puis les trois produits d'inertie :

I_{xy}=\sum_{i=1}^{N}m_{i}\left(x_{i}\cdot y_{i}\right) puis Iyz et Izx

Il n'est pas impossible que cela soit équivalent à poser :

T_{rot}=\frac{1}{2}I_{ik}.\Omega_{i}.\Omega_{k}

Dès que les notations cessent d'être explicites, elles deviennent un peu hermétiques...


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