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Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée

Posté par
flolaboss20 15-04-23 à 17:47

Bonjour
j'aurais une question concernant l'application du théorème de gauss dans le cas d'une boule chargée j'aimerais savoir pourquoi lorsque l'on intègre on intègre thêta de 0 à pi au lieu de 2 pi alors que l'on intègre phi de 0 à 2 pi .

Posté par re : Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée 15-04-23 à 17:56

Bonjour
Le schéma ci-dessous t'aidera peut-être.
Imagine une petite couronne sur la sphère de rayon r=R d'épaisseur R.d et d'axe (Oz). On l'obtiens en intégrant de zéro à 2. Pour balayer la sphère entière, il suffit de prendre l'ensemble des couronnes élémentaires comprises entre zéro et .

Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée

Posté par re : Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée 15-04-23 à 20:21

Bonjour merci votre schéma est vraiment top mais qu'est ce que vous entendez par couronne

Posté par re : Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée 15-04-23 à 20:25

et est ce que cela veut dire que l'on peut aussi ecrire l'inverse c'est à dire intégré phi de 0 à pi et théta de 0 à 2pi pour avoir une sphere

Posté par re : Electrostatique calcul du champ E pour une boule chargée 16-04-23 à 14:46

Il faut se méfier des éventuels problèmes de signe. Je prends le cas simple du calcul de l'aire d'une sphère de centre O et de rayon R. Compte tenu de l'expression générale d'un déplacement élémentaire en coordonnées sphériques :

$\overrightarrow{dl}=dr\cdot\overrightarrow{u_{r}}+r\cdot d\theta\cdot\overrightarrow{u_{\theta}}+r\cdot\sin\left(\theta\right)\cdot d\varphi\cdot\overrightarrow{u_{\varphi}}$

L'aire d'une surface élémentaire de la sphère est :

$dS=R^{2}.\sin\left(\theta\right).d\theta.d\varphi$

Cela sous réserve cependant que sin() positif ou nul pour obtenir une aire positive.

Tu obtiens indifféremment l'aire de la sphère par :

$S=R^{2}.\int_{0}^{\pi}\sin\left(\theta\right).d\theta\cdot\int_{0}^{2\pi}d\varphi=R^{2}.\int_{0}^{\pi}\sin\left(\theta\right).d\theta\cdot\int_{-\pi}^{\pi}d\varphi$

mais :

$0=R^{2}.\int_{0}^{2\pi}\sin\left(\theta\right).d\theta\cdot\int_{0}^{\pi}d\varphi$

En revanche, pour ne pas avoir le problème du sinus négatif, tu peux écrire que l'aire est le double de l'aire de l'hémisphère correspondant à y>0 :

$S=2R^{2}.\int_{0}^{\pi}\sin\left(\theta\right).d\theta\cdot\int_{0}^{\pi}d\varphi$

De façon plus générale, en absence de problème de signe, il est souvent avantageux d'intégrer en de 0 à et en de 0 à 2 quand l'axe (Oz) est axe de symétrie. Il devient intéressant d'intégrer en de 0 à 2 et en de 0 à quand le plan (Oxy) est plan de symétrie.