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Electrostatique

Posté par
geronimo 652 27-10-10 à 19:46

bonsoir à tous,

Je rencontre des petites difficultés avec l'électrostatique, notament avec ce problème:

Citation :
On désire obtenir l'allure des lignes de champs crées au moyen de distributions de charges dans un volume cylindrique de section droite circulaire.
Pour cela, on dispose sur le même axe, deux disques isolants de rayon R, ayant chacun une épaisseur négligeable devant R, et se situant à une distance 2L l'un de l'autre.
Les deux disques portent respectivement les charges +Q et -Q, Q>0.
données: 1/(4\pi\epsilon_0)=9.10^9m.F^{-1}
et l'opérateur div en sphérique


1ere question: rappeler les équation de maxwell en régime statique faisant appel au champ \vec{E}

on a 6$\vec{rot}\vec{E}=\vec{0} et 6$div(\vec{E})=\frac{\rho}{\epsilon_0}

2eme question: on considére une charge ponctuelle q. A l'aide des équations de l'électrostatique, donner alors l'expression du champs électrique à une distance r de cette charge puis l'expression du potentiel en ce même point.


là pour moi on n'est toujours pas dans le vrai problème.
pour moi tel qu'est libellé l'énoncé, je dois utiliser 6$div(\vec{E})=\frac{\rho}{\epsilon_0}... Mais on a une charge ponctuelle or \rho c'est la densité de charge volumique...

pour moi on a toujours en se mettant en polaire ou en sphérique, 6$\vec{E}=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r^2}\vec{u_r} et 6$V=\frac{q}{4\pi\epsilon_0 r}

sauf que si je veux à tout prix utliser les équations de maxwell, sans me poser de question.
Après étude des invariances et symétrie, en sphérique on a \vec{E}=E_r(r)\vec{u_r}
d'où avec 6$div(\vec{E})=\frac{\rho}{\epsilon_0} on trouve 6$\vec{E}=\frac{\rho r}{3\epsilon_0}\vec{u_r} et 6$V=-\frac{\rho r}{6\epsilon_0} (pour le potentiel l'intervalle parfait m'est totalement inconnu)... ça m'a pas l'air trop ça...

si on peux m'aider merci... car en cours les équations de maxwell-gauss, maxwell-faraday, poisson n'ont pour l'instant pas trop été utilisé...
merci d'avance
gero

Posté par
Marc35re : Electrostatique 27-10-10 à 20:37

Bonsoir,
Les points situés à la distance r de la charge q sont répartis sur une sphère de rayon r.
3$div\vec{E}\,=\,\frac{\rho}{\epsilon_0}
3$\int\int\int _{\tau}div\vec{E}\,d\tau\,=\,\int\int\int_{\tau}\frac{\rho}{\epsilon_0}\,d\tau
avec   3$q\,=\,\int\int\int_{\tau}\rho\,d\tau
D'après le théorème d'Ostrogradsky :  3$\int\int\int _{\tau}div\vec{E}\,d\tau\,=\,\int\int_S\vec{E}.d\vec{S}
Donc :
3$\int\int_S\vec{E}.d\vec{S}\,=\,q
3$E\,4\pi r^2\,=\,q
4$E\,=\,\frac{q}{4\pi r^2}

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 28-10-10 à 15:43

Bonjour Marc 35,

oui, je constate que je manque de pratique... En même temps le prof a fait son cours là-dessus juste avant qu'on parte en vac^^

de même dans la suite j'ai un soucis...

On dispose une répartition surfacique des charges \sigma indépendante de la distance à l'axe de révolution du système:
soit, en valeur absolue:
\sigma=\frac{Q}{\pi R^2}

Établir dans ce cas l'expression du potentiel créé par un disuqe en un point de l'axe du cylindre.En déduire alors le champ électrique crée.

cela a pourtant été plus ou moins traité en TD... On avait fait avant un exercice avec une circonférence filiforme et on avait adapter les résultats notamment on avait vu comment passé d'une densité linéique de charge à une densité surfacique
mais là je voulais le faire directement... donc je choisis la méthode direct
on a donc d\vec{E}=\frac{\sigma dS}{4\pi \epsilon_0 PM^3} \vec{PM}

sauf que le point P appartient à tout le disque car dans la cas de l'anneau c'était simple pour calculer PM mais là je ne vois pas...
Et j'ai pas envie de repartir du cas de l'anneau...
ah oui aussi pourquoi il demande ici d'abord le potentiel en premier?

merci d'avance pour ton aide, je suis un peu pommé...

Posté par
Marc35re : Electrostatique 28-10-10 à 16:39

Si j'ai bien compris, on a un disque de rayon R chargé uniformément et on cherche le potentiel et le champ électrique en un point de l'axe.
A mon avis, c'est nettement plus simple de partir de l'anneau (surtout que le travail a été plus ou moins fait en TD). Il suffit d'intégrer ensuite.
La surface élémentaire est un anneau élémentaire compris entre r et r+dr. La charge est donc (Q/(R2)) 2rdr.
Sinon on va tomber sur une intégrale double qu'il faudra ramener à une intégrale simple d'une façon ou d'une autre. PM va s'exprimer en fonction de r et de . Passer par l'anneau permet de s'affranchir d'une des variables. On doit y arriver aussi par ta méthode mais, à mon avis, c'est plus compliqué.

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 28-10-10 à 18:36

donc je trouve:

si z>0  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})

si z<0 3$\vec{E}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})

par contre pour le potentiel, je pense integrer entre 0 et z mais je ne vois pas pourquoi V(0)=0
car vu qu'il n'y pas de charge à l'infini on devrait prendre V=0 à l'infini

je trouve en considérant V(0)=0
si z>0 3$V=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{z^2+R^2}-z)
si z<0 3$V=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\sqrt{z^2+R^2}+z)

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 28-10-10 à 19:55

je pense que c'est bon ... on retombe sur le TD donc ...

par contre je ne comprends pas cette question:

calculer, par unité de surface et au voisinage de l'axe, l'intensité de la force d'attraction qui s'exerce entre les disques. Donner alors l'expression du champ électrique total crée par les deux disques sur l'axe du cylindre en fonction de la coordonnée axiale z
on placera l'origine à égale distance des deux disques.

je pensais utiliser cette formule lorsque l'on a deux charges ponctuelles en A et B
3$\vec{F_{1/2}}=\frac{q1q2}{4\pi \epsilon_0 AB^2}\vec{u_{1/2}

mais là ce sont des disques... ce qui me fait penser à un point c'est le fait que l'on nous demande par unité de surface...
car sinon j'avais écris:
3$\vec{F_{1/2}}=\frac{-Q^2}{4\pi \epsilon_0 (2L)^2}\vec{u_{1/2}
et l'idée de diviser Q par piR² pour avoir la charge en un point du disque sur l'axe z me paraît saugrenue

et après pour en déduire le champ E entre les deux disques...

Posté par
Marc35re : Electrostatique 28-10-10 à 20:10

Cela me paraît correct.

Posté par
Marc35re : Electrostatique 28-10-10 à 20:55

Mon message précédent se rapporte au message "Posté le 28-10-10 à 18:36".
Si je comprends bien, il y a deux disques sur un même axe.
Si on prend l'origine au milieu de la distance des deux disques, il suffit de faire un changement de repère pour trouver l'expression de E et on fait la somme des champs électriques.
Cette histoire de force par unité de surface peut faire penser à une pression. Mais, a priori, je serais tenté de calculer le champ électrique et d'en déduire la force et pas l'inverse.

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 28-10-10 à 21:38

Je ne vois pas comment l'origine intervient dans mon champ... Je m'attends bien sûr à utiliser le théorème de superposition...

Posté par
Marc35re : Electrostatique 28-10-10 à 22:08

On est obligé de tenir compte de l'origine. Si on change l'origine, la formule change en conséquence. On a pris le centre du disque pour origine des z. Si l'origine est située à une distance L du disque, la formule doit être modifiée.

Citation :
Si z>0  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})

On a pris l'origine des z au centre du disque. Si la nouvelle origine est située à z=-L, le centre du disque est donc à z=L. Donc :
3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}})   dans le nouveau repère
Dans le nouveau repère, le centre du disque est situé à z=L. Avec la nouvelle formule, on obtient le même champ qu'avant au centre du disque dans le nouveau repère.
Seule l'origine des z a changé (c'est un classique changement de repère).

Posté par
Marc35re : Electrostatique 28-10-10 à 22:30

Absent vendredi, samedi, dimanche... revenu dimanche soir peut-être.
Donc pas de réponse d'ici là, enfin pas de ma part...

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 29-10-10 à 10:27

d'accord, merci Marc 35...Passe un bon long week-end

d'ici là, j'espère que ce problème sera presque terminé... J'espère que le dopage d'exo n'est pas contre indiqué...

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 01-11-10 à 10:28

re !
Si tu peux me dire si c'est juste ou pas, ce serait gentil ^^

Citation :
calculer, par unité de surface et au voisinage de l'axe, l'intensité de la force d'attraction qui s'exerce entre les disques.


La force exercée par l'armature 1 sur l'armature 2 est:

6$\vec{F_{1/2}}=Q\vec{E_1}=Q(+/-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})\vec{u_z}
or 6$Q=\sigma \pi R^2

d'où 6$\vec{F_{1/2}}=Q\vec{E_1}=(+/-\frac{\sigma^2 \pi R^2}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})\vec{u_z}

après pour l'avoir par unité de surface, je pensais diviser par \pi R^2


Citation :
Donner alors l'expression du champ électrique total crée par les deux disques sur l'axe du cylindre en fonction de la coordonnée axiale z
on placera l'origine à égale distance des deux disques


si z>L

6$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{z+L}{\sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}})\vec{u_z}

si z<-L

6$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}}-\frac{z+L}{\sqrt{(z+L)^2+R^2}})\vec{u_z}

si -L<z<L

6$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}}+\frac{z+L}{\sqrt{(z+L)^2+R^2}}-2)\vec{u_z}

Citation :
5) Quelle densité \sigma faut-il fixer sur chaque disuqe pour procurer sur l'axe, en z=0, un champ de 100kVm^{-1}?
Quelle est alors la valeur de la différence de potentiel qui doit exister entre les centres des deux disques?
Donner également la valeur de la force par unité de surface et au voisinage de l'axe qui s'exerce entre les disques
pour l'application numérique on adoptera les données suivantes:
R=0.5m L=0.8m


on est donc dans le cas où -L<z<L et z=0

donc \vec{E}=-\frac

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 01-11-10 à 10:38

oops fausse manip... on a donc
\vec{E}=-\frac{\sigma}{\epsilon_0}\vec{u_z}

d'où \sigma=-1,13.10^{16}C.m^{-2}

ensuite on a:

\vec{E}=-\vec{grad}V

donc E=-\frac{dV}{dz}

dV=-100.10^3dz et en intégrant entre -L et L, on a:

V(L)-V(-L)=-100.10^3\times 2L= -1,6.10^5 J.C^{-1}

pour la force j'ai de gros doute sur l'expression que j'ai donné précédement

merci d'avance
gero

Posté par
Marc35re : Electrostatique 01-11-10 à 22:14

Je réponds demain (mardi).

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 02-11-10 à 18:08

au cas ou on m'oublie ^^

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 18:40

Bon, il est un peu tard mais je réponds quand même...
Pour la force d'attraction entre les disques par unité de surface, on a \vec{F}\,=\,q\vec{E}; Comme F est la force par unité de surface, il suffit que q soit la charge par unité de surface donc q = .
Si le disque de charge + est en z = L :
3$\vec{F_{- => +}}\,=\,\sigma\,(-\frac{\sigma}{2\,\epsilon_0})\Big(1-\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}\Big)
3$\vec{F_{- => +}}\,=\,-\frac{\sigma^2}{2\,\epsilon_0}\Big(1-\frac{2L}{sqrt{4L^2+R^2}}\Big)

Pour le reste, j'ai des petits problèmes de signe de temps en temps.

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 18:50

Citation :
si z>0  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})

si z<0 3$\vec{E}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})

Exemple de problème de signe : pour z < 0
Par symétrie, on doit avoir \vec{E(-z)}\,=\,-\vec{E(z)}
si z>0  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}
si z<0 3$\vec{E}=-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}\,=\,-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1+\frac{|z|}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}   parce que z\,=\,-|z|
On n'a pas  \vec{E(-z)}\,=\,-\vec{E(z)}

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 18:55

Pour moi, c'est :
si z>0  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)

si z<0 3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(-1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)

On a bien  \vec{E(-z)}\,=\,-\vec{E(z)}

3$\vec{E(z)}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}
3$\vec{E(-z)}\,=\,-\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{|z|}{\sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\vec{u_z}

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 19:04

J'ai refait tous les calculs parce que je n'étais pas sûr de certains résultats. C'est la raison pour laquelle je réponds assez tard.

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 02-11-10 à 20:02

Citation :
J'ai refait tous les calculs parce que je n'étais pas sûr de certains résultats. C'est la raison pour laquelle je réponds assez tard.


pas grave pour la réponse tardive... en tout cas merci beaucoup pour le temps que tu m'accordes ^^

donc j'ai faux pour la suite j'ai les distinctions de cas à refaire
de toute manière ça me semblait trop simple pour le champ en 0
Je hais de plus en plus l'électrostatique...

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 20:03

Je peux te mettre la démonstration pour E

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 02-11-10 à 20:13

non c'est bon vu que j'ai bon pour le z>0
c'est en interprétant le \vec{E(-z)}=-\vec{E(z)} que je me suis planté...

Posté par
Marc35re : Electrostatique 02-11-10 à 20:17

J'ai fait le calcul sans distinguer z > 0 et z < 0.

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 02-11-10 à 20:21

ah... moi en fait j'ai fait le calcul direct (en utilisant la trigo) en le faisant pour les points M à la côte z>0...

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 02-11-10 à 20:43

donc je trouve si z>L la même chose que le 1/10/10 à 10h28

si z<-L 3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(2+\frac{z+L}{\sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}})\vec{u_z}

si -L<z<L  3$\vec{E}=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}(-2+\frac{z+L}{\sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{\sqrt{(z-L)^2+R^2}})\vec{u_z}

Posté par
Marc35re : Electrostatique 03-11-10 à 15:59

Désolé mais ça va être un peu "touffu"...

Pour le champ électrique dû au disque (avec z = 0 au centre du disque), je trouve :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z}{\,|z|\,}-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
Pour z > 0, on a  \frac{z}{|z|}\,=\,1  et  0\,<\,\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,<\,1 :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(1-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
Comme  \frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,<\,1 ,  on a  1\,>\,1-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,>\,0  donc  \vec{E}  est dans le sens des z > 0.
Pour z < 0, on a  \frac{z}{|z|}\,=\,-1  et  -1\,<\,\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,<\,0\,\Rightarrow\,1\,>\,-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,>\,0\,\Rightarrow\,0\,>\,-1-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\,>\,-1 :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(-1-\frac{z}{sqrt{z^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
\vec{E}  est dans le sens des z < 0.

Maintenant, si on prend deux disques espacés de 2L avec l'origine au milieu de la distance des deux disques, avec un disque chargé + et un disque chargé -, il faut faire un changement de repère. On prend le disque + en z = L et le disque - en z = -L.
3$\vec{E_+}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z-L}{\,|z-L|\,}-\frac{z-L}{sqrt{(z-L)^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
Le disque - est z = -L et il est chargé avec -  ( > 0).
3$\vec{E_-}\,=\,-\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z+L}{\,|z+L|\,}-\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
Pour z > L ou z < -L, les champs sont de sens contraire et, pour -L < z < L, les champs sont de même sens. Mais, avec les expressions telles qu'elles sont écrites, on fait la somme des champs sans se préoccuper de leur sens puisque celui-ci est compris dans l'expression.
3$\vec{E}\,=\,\vec{E_+}\,+\,\vec{E_-}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z-L}{\,|z-L|\,}-\frac{z-L}{sqrt{(z-L)^2+R^2}}\,-\,\frac{z+L}{\,|z+L|\,}+\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}
3$\frac{z-L}{\,|z-L|\,}\,-\,\frac{z+L}{\,|z+L|\,}\,=\,\frac{(z-L)|z+L|\,-\,(z+L)|z-L|}{\,|z-L|\,|z+L|\,}

z > L ==> z-L > 0 et z+L > 2L > 0 :

3$\frac{(z-L)|z+L|\,-\,(z+L)|z-L|}{\,|z-L|\,|z+L|\,}\,=\,\frac{(z-L)(z+L)\,-\,(z+L)(z-L)}{\,z^2-L^2}\,=\,0
donc :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{sqrt{(z-L)^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}

z < - L ==> z-L < -2L < 0 et z+L < 0 :

3$\frac{(z-L)|z+L|\,-\,(z+L)|z-L|}{\,|z-L|\,|z+L|\,}\,=\,\frac{-(z-L)(z+L)\,+\,(z+L)(z-L)}{\,z^2-L^2}\,=\,0
donc :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{sqrt{(z-L)^2+R^2}}\Big)\,\,\vec{u_z}

- L < z < L ==> -2L < z-L < 0 < 0 et 0 < z+L < 2L :
3$\frac{(z-L)|z+L|\,-\,(z+L)|z-L|}{\,|z-L|\,|z+L|\,}\,=\,\frac{(z-L)(z+L)\,+\,(z+L)(z-L)}{-\,(z-L)\,(z+L)}\,=\,\,=\,\frac{2\,(z^2-L^2)}{-\,(z^2-L^2)}\,=\,-2
donc :
3$\vec{E}\,=\,\frac{\sigma}{2\epsilon_0}\Big(\frac{z+L}{sqrt{(z+L)^2+R^2}}-\frac{z-L}{sqrt{(z-L)^2+R^2}}\,-\,2\Big)\,\,\vec{u_z}

Posté par
geronimo 652re : Electrostatique 13-11-10 à 10:34

re!

vraiment désolé de cette réponse tardive mais un gros contre-temps m'a empêché de venir avant...

merci beaucoup Marc 35

Posté par
Marc35re : Electrostatique 13-11-10 à 11:01

OK, pas de problème...
J'espère que ça te suffit comme réponse et que tu vas t'y retrouver


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