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Electrocinétique (pb de calcul)

Posté par
Bladoue 27-07-17 à 21:11

Bonsoir,

J'ai un problème concernant la correction d'un de mes exercices, cela concerne la conductivité d'un milieu électrolytique :

"On dissout une masse m=20g de NaCl dans un bac électrolytique rempli d'eau, de longueur l=20cm et de section latérale S=100cm². La dissolution est totale. On fait passer un courant d'intensité I=100mA entre deux électrodes aux extrémités de la cuve.

On donne M(Cl)=35,5g/mol et M(Na)=23g/mol "

On a aussi la vitesse des ions sodium qui est égale à 2,4x10^-5cm/s
On sait aussi que la mobilité des ions Chlorure est 1,5 fois plus grande que celle des ions sodium, donc (vNa + vCl)  = (1 vNa + 1,5vNa) = 2,5vNa
Enfin, la quantité molaire (n=m/M) (je ne sais plus comment cela s'appelle) de NaCl est égale à 1,03x10²⁶m^-3

Le calcul de am correction est :

conductivité = e_NaCl x (vNa + vCl)
                             = 1,6x10^-19 x 1,03X10²⁶ x 2,5 x 2,4x10^-7
                             = 2,14 S/m

Or, quand je fais ce calcul je ne trouve pas du tout pareil.

Pourriez-vous m'aider à comprendre ce qui ne va pas ?

Merci beaucoup !

Posté par re : Electrocinétique (pb de calcul) 27-07-17 à 23:17

Bonsoir
Tes notations ne sont pas vraiment claires. Ce que tu appelles la « quantité molaire » n'est certainement pas la quantité mesurée en mole : la valeur numérique fournie est beaucoup trop élevée et l'unité n'est pas correcte. Vue la valeur fournie et l'unité, je crois qu'il s'agit du nombre d'ions sodium égal au nombre d'ions chlorure par unité de volume.
Le calcul que tu effectues est celui de la densité de courant, pas celui de la conductivité :

$j=e\left(N_{Na^{+}}\cdot V_{Na^{+}}+N_{Cl^{-}}\cdot V_{Cl^{-}}\right)$
avec :

charge élémentaire : $e=1,6.10^{-19}C$

quantités d'ions par unité de volume : $N_{Na^{+}}=N_{Cl^{-}}=1,03.10^{26}m^{-3}$

Vitesses des ions : $V_{Na^{+}}=2,4.10^{-7}m/s\quad;\quad V_{Cl^{-}}=1,5.2,4.10^{-7}=3,6.10^{-7}m/s$
L'application numérique conduit à :
$\\ \\ j=9,9A/m^{2}$
Cela conduit à une intensité du courant :

$I=j.S=9,9.100.10^{-4}=9,9.10^{-2}A=99mA$
Ce résultat est cohérent, aux arrondis de calculs près, avec la valeur 100mA fournie en début d'énoncé mais ne permet pas d'obtenir la conductivité. L'énoncé fournit peut-être la tension entre les deux extrémités de la cuve...

Posté par re : Electrocinétique (pb de calcul) 28-07-17 à 09:28

vanoise @ 27-07-2017 à 23:17

Bonsoir
Tes notations ne sont pas vraiment claires. Ce que tu appelles la « quantité molaire » n'est certainement pas la quantité mesurée en mole : la valeur numérique fournie est beaucoup trop élevée et l'unité n'est pas correcte. Vue la valeur fournie et l'unité, je crois qu'il s'agit du nombre d'ions sodium égal au nombre d'ions chlorure par unité de volume.
Le calcul que tu effectues est celui de la densité de courant, pas celui de la conductivité :

$j=e\left(N_{Na^{+}}\cdot V_{Na^{+}}+N_{Cl^{-}}\cdot V_{Cl^{-}}\right)$
avec :

charge élémentaire : $e=1,6.10^{-19}C$

quantités d'ions par unité de volume : $N_{Na^{+}}=N_{Cl^{-}}=1,03.10^{26}m^{-3}$

Vitesses des ions : $V_{Na^{+}}=2,4.10^{-7}m/s\quad;\quad V_{Cl^{-}}=1,5.2,4.10^{-7}=3,6.10^{-7}m/s$
L'application numérique conduit à :
$\\ \\ j=9,9A/m^{2}$
Cela conduit à une intensité du courant :

$I=j.S=9,9.100.10^{-4}=9,9.10^{-2}A=99mA$
Ce résultat est cohérent, aux arrondis de calculs près, avec la valeur 100mA fournie en début d'énoncé mais ne permet pas d'obtenir la conductivité. L'énoncé fournit peut-être la tension entre les deux extrémités de la cuve...

Oui, c'est la quantité de matière je me suis trompée. Ce n'est pas pareil

De plus, j'ai oublié de mentionner une donnée supplémentaire :
La mobilité du sodium vaut 52x10^-9m².V^-1.s^-1 a 25 degrés.

Et la question est pourtant : "quelle est la conductivité du milieu électrolytique" (en S/m)

Le résultat est forcément 2,14 mais je ne trouve rien qui s'y rapproche

Posté par re : Electrocinétique (pb de calcul) 28-07-17 à 10:25

Tout s'éclaire !
Car la donnée manquante associée à la vitesse de l'ion Na⁺ permet d'accéder à la tension ce qui, comme l'avait envisagé Vanoise, permet de calculer la conductivité.
On trouve bien à très peu de choses près le résultat que tu donnes.

Posté par re : Electrocinétique (pb de calcul) 28-07-17 à 15:49

Bonjour

Citation :
Le résultat est forcément 2,14

Il ne faut pas faire aveuglément confiance aux corrigés ! Eux aussi peuvent se tromper. En pratique : la mesure expérimentale conduit à 1,76S/m et non à 2,14S/m ; le concepteur de cet exercice n'a certainement pas fait la mesure ; il s'est contenté d'utiliser des tables thermodynamiques donnant la conductivité en fonction de la concentration en oubliant que ces tables ne sont valides que pour les solutions très diluées : pas plus de 10^-3mol/L alors que la concentration est ici de 10g/L soit 0,171mol/L...
Pour en revenir à ton problème tel qu'il est posé, pour un ion donné, vitesse, mobilité et vecteur champ électrique sont reliés par la relation :

$v_{Na^{+}}=\mu_{Na^{+}}\cdot E$

Puisque, par définition, la conductivité est :

$\gamma=\frac{j}{E}$

En tenant compte de la valeur précédente :

$\gamma=\frac{j}{E}=\frac{j\cdot\mu_{Na^{+}}}{v_{Na^{+}}}=\frac{9,9\cdot52.10^{-9}}{2,4.10^{-7}}\approx2,14S/m$

Pour la densité de courant j, j'ai utilisé le résultat du calcul de hier soir. J'aurais pu utiliser directement les données du premier paragraphe de l'énoncé :

$j=\frac{I}{S}=\frac{0,100}{10^{-2}}=10A/m^{2}$
On obtient alors une conductivité égale à 2,17S/m.

Remarque : le but de cet exercice est clairement de faire manipuler des formules car en pratique, les mesures de $v_{Na^{+}}$ et $\mu_{Na^{+}}$ sont extrêmement délicates alors que la mesure de la tension entre les deux extrémité de la cuve est très simple à l'aide d'un voltmètre. De cette tension U et de la longueur l de la cuve, on obtient très simplement E :

$E=\frac{U}{l}$
Autrement plus simple sur le plan expérimental que : $E=\frac{v_{Na^{+}}}{\mu_{Na^{+}}}$ !

Posté par re : Electrocinétique (pb de calcul) 28-07-17 à 17:44

En réalité, c'est la correction de mes professeurs de prepa, je ne vois pas pourquoi ils font ce calcul..

En tous cas merci beaucoup ! Je viens enfin de comprendre le raisonnement !

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