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Electrocinétique : comportement d'une membran

Posté par
sheigh 29-04-19 à 12:04

Bonjour,

Voici un exercice dont j'aimerai avoir un corrigé.

---Analyse d'une expce de Patch-Clamp
La membrane neuronale est constituée d'une bicouche lipidique à travers laquelle des ions circulent par l'intermédiaire de canaux ioniques. Cette circulation est un courant électrique qui permet la transmission de l'influx nerveux qui est décrite dans le modèle introduit pat Hodgkin & Huxley en 1952.

Pour rendre compte des résultats expérimentaux de l'expce de Patch-Clamp, on modélise la membrane pendant la dépolarisation par un circuit électrique constitué d'une source idéale de courant, de courant électromoteur Io constant en parallèle à une résistance caractéristique de la membrane elle-même en parallèle avec une capacité C qui est caractéristique de la membrane. Pour fixer l'échelle temporelle, la durée totale sur laquelle on impose un courant sortant Io dans l'expce de dépolarisation est de 5ms.

1) Etablir l'équation différentielle de la tension V(t) aux bornes du condensateur.

2) On suppose que V(t=0)=Vm au début de l'expérience. Etablir V(t). On fera apparaître un temps typique en fonction  de R et C. Tracer l'allure de V(t) en figurant les valeurs initiale et finale.

3) Expérimentalement, on obtient les courbes figurées ci-dessous (figure 2). Déterminer la valeur de à partir des courbes. A l'aide de la valeur finale (comprise comme la valeur en fin de dépolarisation) de V(t), déterminer la valeur numérique de R puis celle de C.

--- Modélisation de type Hodgkin et Huxley
On cherche à discuter le modèle précédent à l'aide de considération biophysique. La 1ère idée est que l'existence de distribution de charge de part et d'autre d'une membrane neuronale correspond à un comportement capacitif. De plus chaque canal ionique élémentaire i (i=Na, K) est caractérisé par sa résistance Ri, et comme il existe des processus de transport actif (pompes, etc), un canal est aussi caractérisée par une source idéale : soit une source de tension caractérisée par une fem E_K, soit une source idéale caractérisée par le courant électromoteur _Na. le circuit équivalent à l'ensemble de ces comportements est figuré ci-après (figure 3).

4) Simplifier ce circuit modèle en régime permanent. Montrer que l'association des 2 canaux est équivalent à un seul dont :
- on donnera la résistance équivalente Ro en fonction de R_Na et R_K
-on donnera la fem Eo (orientée vers le bas) en fonction de _Na, E_K, R_Na et R_K.

5) En déduire le courant total Io qui traverse la membrane en régime quelconque en fonction de la différence de potentiel transmembranaire V(t). Retrouve-t-on le lien différentiel qui unissait Io et V(t) précédemment ? En quoi l'évolution V(t) est-elle a priori modifiée par l'expce de Patch-Clamp ?

Voici quelques réponses :

1)V(t)  =?
on a loi des noeuds : io+i_R= i_C
ic=dq/dt et q=Cu
donc Rir=q/C RCi_R =q  or i_C=dq/dt=RCdi_R/dt
io=i_R+RC $\frac{dIr}{dt}$
E.H = $\frac{dIr}{dt} + \frac{Ir}{RC} =0$
on pose = RC donc Ir(t)=A.exp(e-t/)
SP= io donc Ir(t)=Aexp(-t/)+io
V=R*i donc V(t)= $\frac{Ir}{R} =\frac{A}{R} exp(-t/\tau )$

2) A V(t=0) = V_m
V_m= $\frac{A}{R}$ donc A = R*V_m et donc V(t) = V_m exp(-t/)

3)

4) RNa et RK sont en parallèle donc Req= $\frac{RNa * RK}{RNa+RK}$
A partir de Eo, je pêche.

Merci par avance.

$Electrocinétique : comportement d\'une membran$

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Posté par re : Electrocinétique : comportement d'une membran 29-04-19 à 12:46

Bonjour
Commence par remplacer le générateur linéaire de tension (Ek,Rk) par le générateur de courant équivalent. Cela va te conduire comme tu l'as imaginé à considérer les deux résistances en parallèle mais tu vas aussi pouvoir remplacer les deux générateurs idéaux de courant par un seul.

Posté par re : Electrocinétique : comportement d'une membran 29-04-19 à 14:16

Je vous remercie de votre réponse, mais je suis encore perdue, je vois que c'est Thévenin/Norton que je dois utiliser, je le vois bien avec Ek, calcul de Rth et Eth, mais la présence du Na me perturbe, je le vois pas comment l'inclure, surtout que vous avez dit de remplacer les deux générateurs par un seul.

Posté par re : Electrocinétique : comportement d'une membran 29-04-19 à 14:39

Le petit schéma ci-dessous sur l'équivalence entre générateur linéaire de tension (générateur de Thévenin) et générateur linéaire de courant (générateur de Norton) devrait t'aider à appliquer la méthode décrite dans mon message précédent.

$Electrocinétique : comportement d\'une membran$

Posté par re : Electrocinétique : comportement d'une membran 29-04-19 à 22:38

Bon je ne suis pas convaincue par ce que j'écris car je pense que je ne comprends pas trop:
- générateur (Ek,Rk) par un générateur équivalent Rth comme écris précédemment $\frac{RNa*Rk}{RNa+Rk}$ et Eth= $\frac{RNa*Ek}{RNa+Rk}$
- auquel le générateur de courant se rattache, et selon équivalence Générateur de Thévenin-Norton : _a= $\frac{RNa*Ek}{RNa+Rk}$

Posté par re : Electrocinétique : comportement d'une membran 30-04-19 à 10:42

Quand tu remplaces le générateur linéaire de tension {E_k,R_k} par son modèle de Norton, le bloc à simplifier est un ensemble de 4 branches en parallèle :

* Deux résistance que tu associes comme tu l'as fait en une résistance équivalente R_th ;

* deux générateurs idéaux de courant de courants électromoteurs $\eta_{Na}$ et $\frac{E_{k}}{R_{k}}$

Selon la loi des nœuds, ces deux générateurs de courants sont équivalents à un seul dont le courant électromoteur est la somme des deux précédents. En fin de compte, le bloc à simplifier est équivalent à un générateur de Norton de résistance R_th et de courant électromoteur :

$\\ \eta_{N}=\eta_{Na}+\frac{E_{k}}{R_{k}}$

Comme demandé par l'énoncé, tu peux le remplacer par le générateur de Thévenin équivalent de fém :

$R_{o}=R_{th}=\frac{R_{Na}\cdot R_{k}}{R_{Na}+R_{k}}$

$E_{o}=R_{o}\cdot\eta_{N}=\frac{R_{Na}\cdot R_{k}}{R_{Na}+R_{k}}\cdot\left(\eta_{Na}+\frac{E_{k}}{R_{k}}\right)$

Retiens bien cette méthode, dite de la « transformation Thévenin - Norton » ; elle remplace de façon avantageuse des théorèmes plus compliqués dans de nombreux cas et est en général très appréciée des étudiants.