Niveau maths spé

Effet Venturi - Mécanique des fluides

Posté par
BackM 07-04-13 à 16:47

Bonjour à tous,

Je cherche à démontrer à partir de l'équation de conservation du débit massique / t + div() = 0, qui sous certaines hypothèses devient simplement div() = 0, la fameuse équation de l'effet Venturi : V1*S1 = V2*S2.

Il me semblait qu'il fallait utiliser la formule de Green-Ostrogradsky, mais voilà le raisonnement.

div() d = 0 = dS

En supposant la vitesse constante en tous points de la surface considérée, dS = V*S et V*S = 0 d'où V = 0 et un fluide ne peut pas avoir de vitesse. Et il y a comme un problème..

Donc, qu'est ce que j'ai raté ?

Merci d'avance.

Posté par re : Effet Venturi - Mécanique des fluides 07-04-13 à 21:39

Green-Ostrogradsky c'est sur une surface fermée :

$\large\boxed{\iiint_V\mathrm{div}\vec{v}\ d\tau=\iint_{S\ \mathrm{fermée}}\vec{v}.\vec{n}\ dS}$

On peut décomposer S en S = S₁ + S₂ +S_lat.

S₁ est la surface d'entrée du fluide. L'écoulement est unidimensionnel et le fluide a une vitesse $\vec{v_1}$ sur S₁.

S₂ est la surface de sortie du fluide. L'écoulement est unidimensionnel et le fluide a une vitesse $\vec{v_2}$ sur S₂.

S_lat est la surface latérale. Sur S_lat, $\vec{v}.\vec{n}=0$ car par adhérence, la vitesse du fluide est nulle aux parois latérales.

Donc :

$\large 0=\underbrace{\iint_{S_1}\vec{v}.\vec{n}\ dS}_{-S_1v_1}+\underbrace{\iint_{S_2}\vec{v}.\vec{n}\ dS}_{+S_2v_2}+\underbrace{\iint_{S_\mathrm{lat}}\vec{v}.\vec{n}\ dS}_{=0}$

Et :

$\large\blue\boxed{\boxed{S_1v_1=S_2v_2}}$

Conservation du débit en écoulement stationnaire unidimensionnel et à masse volumique constante.