Niveau maths sup

Effet Doppler

Posté par
alouette13 12-09-17 à 13:26

Bonjour,
J'ai un exercice a faire sur Doppler, les autres questions je l'ai ai faites mais celle là me pose un peu plus de soucis :

Une source d'ondes sonore S est en mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v dans l'air ou c=340m/s. L'observateur est fixe en 0.
On note l'angle entre v et SO.
A l'instant t, la source est en S1 et l'observateur reçoit le signal a l'instant t'; a l'instant t+t la source est en S2 et l'observateur reçoit le signal à l'instant t'+ t'. On suppose t petit.

Montrer que t' s'écrit a l'ordre 1 en t : t' = t ( 1 - (( Cos( )) / (c))

En utilisant (1+x)^a = 1+ax

Merci pour tout aide

Posté par re : Effet Doppler 12-09-17 à 13:56

Bonjour
Tu trouveras ici une démonstration tout à fait générale (non relativiste) où la source et l'observateur sont tous deux en mouvements par rapport à l'air. Tu peux facilement l'adapter au cas particulier où seule la source est en mouvement par rapport à l'air.

Posté par re : Effet Doppler 13-09-17 à 14:22

Oui merci ça m'a aidé pour le début mais je ne vois pas comment faire apparaître le cos ? Al-kashi?

Posté par re : Effet Doppler 13-09-17 à 15:44

J'adapte la démonstration du site en notant : $\theta=\left(\overrightarrow{v},\overrightarrow{SO}\right)$ .
A la date t, la source S émet un signal à partir d'une position S1. Celui-ci sera reçu par l'observateur en O à la date :

$t'=t+\frac{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert}{c}$

A la date t+dt, la source émet un deuxième signal alors qu'elle occupe la position S2 telle que :

$\overrightarrow{OS_{2}}=\overrightarrow{OS_{1}}+\overrightarrow{v}\cdot dt$

Ce deuxième signal sera donc reçu en O à la date :

$t'+dt'=t+dt+\frac{\Vert\overrightarrow{OS_{2}}\Vert}{c}=t+dt+\frac{\sqrt{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{v}\Vert^{2}dt^{2}+2\overrightarrow{OS_{1}}\cdot\overrightarrow{v}\cdot dt}}{c}$

Le terme en dt² est négligeable (infiniment petit du second ordre) devant le terme en dt (infiniment petit du premier ordre). Propriété du produit scalaire de deux vecteurs :

$\overrightarrow{OS_{1}}\cdot\overrightarrow{v}=-\overrightarrow{S_{1}O}\cdot\overrightarrow{v}=-\Vert\overrightarrow{S_{1}O}\Vert\cdot v\cdot\cos\left(\theta\right)$

Ainsi :

$\sqrt{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{v}\Vert^{2}dt^{2}+2\overrightarrow{OS_{1}}\cdot\overrightarrow{v}\cdot dt}\approx\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert\cdot\left[1-\frac{2v.\cos\left(\theta\right)}{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert}\cdot dt\right]^{\frac{1}{2}}$

développement limité au premier ordre :

$\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert\cdot\left[1-\frac{2v.\cos\left(\theta\right)}{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert}\cdot dt\right]^{\frac{1}{2}}\approx\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert\cdot\left[1-\frac{v.\cos\left(\theta\right)}{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert}\cdot dt\right]\approx\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert-v\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot dt$

Tu devrais pouvoir terminer maintenant !

Posté par re : Effet Doppler 15-09-17 à 19:55

Franchement merci pour toute votre aide, j'y réfléchis depuis plusieurs jours et j'ai essayé plusieurs trucs et je me retrouve avec:

t+dt'=ct' - vcos dt

Mais je ne vois pas comment faire pour arriver à dt'=dt(1- (vcos/c)

Vu que je n'y arrivai toujours pas comme ça j'ai essayé une autre piste avec :

c²(t'-t+dt'-dt)²=c²(t'-t)+(vdt)² - 2vdtc(t'-t)cos

et je pense quand divisant par c²(t'-t) ça pourrait marcher mais je vois mal comment le justifier !

Merci encore

Posté par re : Effet Doppler 15-09-17 à 20:58

Bonsoir
si je reprends la 3ème équation :

$t'+dt'=t+dt+\frac{\Vert\overrightarrow{OS_{2}}\Vert}{c}=t+dt+\frac{\sqrt{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert^{2}+\Vert\overrightarrow{v}\Vert^{2}dt^{2}+2\overrightarrow{OS_{1}}\cdot\overrightarrow{v}\cdot dt}}{c}$

Je remplace par les expressions démontrées les lignes suivantes :

$t+\frac{\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert}{c}+dt'\approx t+dt+\frac{1}{c}\left[\Vert\overrightarrow{OS_{1}}\Vert-v\cdot\cos\left(\theta\right)\cdot dt\right]$

Il me semble bien qu'après simplification...