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écoulement parallèle et stationnaire

Posté par
lachgar 15-05-19 à 11:17

Bonjour à tous.
Pouriez vous m'expliquer pourquoi (v.grad).v
$(\vec{V}.\vec{grad})\vec{V}$

est nul pour un écoulement stationnaire ,dont la vitesse est parallèle à x et dépend de y ?
Car si on développe cette expression , on aura une dérivée de V par rapport à y qui n'est pas nulle.
Merci d'avance.

Posté par re : écoulement parallèle et stationnaire 15-05-19 à 11:34

Bonjour
les trois composantes suivant x,y,z de ton vecteur sont :

$\begin{cases} \\ V_{x}\cdot\frac{\partial V_{x}}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial V_{x}}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial V_{x}}{\partial z}\\ \\ V_{x}\cdot\frac{\partial V_{y}}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial v_{y}}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial V_{y}}{\partial z}\\ \\ V_{x}\cdot\frac{\partial V_{z}}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial V_{z}}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial V_{z}}{\partial z} \\ \end{cases}$

Je te laisse conclure.

Remarque : il est souvent intéressant d'écrire l'expression de ce vecteur sous la forme suivante. Le sens physique est plus facile à trouver...

$\\ (\vec{V}.\vec{grad})\vec{V}=\frac{1}{2}\overrightarrow{grad}\left(V^{2}\right)+\overrightarrow{rot}\left(\overrightarrow{V}\right)\wedge\overrightarrow{V}$

Posté par re : écoulement parallèle et stationnaire 15-05-19 à 11:46

Merci, j'ai compris maintenant.
C'est par ce que Vy est nulle.

Mais d'après l'expression des trois composantes , je comprend V est appliqué au grad puis le tous appliqué à V. N'est ce pas?
Merci.

Posté par re : écoulement parallèle et stationnaire 15-05-19 à 13:03

Cette notation est effectivement difficile à comprendre du point de vue "calculatoire" et son sens physique est un peu "énigmatique", d'où l'intérêt de l'expression que je t'ai fournie beaucoup plus simple à comprendre...
Pour répondre de façon précise à ta question : tu as sans doute compris que la divergence d'un vecteur $\vec{V}$ peut s'écrire comme le produit scalaire de l'opérateur nabla par le vecteur. Ici, il s'agit d'effectuer le produit scalaire de l'opérateur $(\vec{V}.\vec{grad})$ de composantes :
$\begin{cases} \\ V_{x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\\ \\ V_{x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial}{\partial z}\\ \\ V_{x}\cdot\frac{\partial}{\partial x}+V_{y}\cdot\frac{\partial}{\partial y}+V_{z}\cdot\frac{\partial}{\partial z} \\ \end{cases}$

par le vecteur $\vec{V}$ .

Posté par re : écoulement parallèle et stationnaire 15-05-19 à 15:01

L'expression "produit scalaire " dans ma dernière phrase n'est pas adaptée puisque le résultat final est un vecteur.

Posté par re : écoulement parallèle et stationnaire 17-05-19 à 16:25

vanoise @ 15-05-2019 à 13:03

Cette notation est effectivement difficile à comprendre du point de vue "calculatoire" et son sens physique est un peu "énigmatique", d'où l'intérêt de l'expression que je t'ai fournie beaucoup plus simple à comprendre...

Oui c'est vrai , elle est plus simple .
Merci encore.

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