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Écoulement irrotationnel autour d'une sphère solide
Bonne journée à toutes et à tous,
Je ne m'arrive pas à bien comprendre la question suivante, qui a été posée dans un petit exercice concernant la mécanique des fluides:
En cherchant le potentiel des vitesses de la forme w(r,x)=f(r).cos(x) qui vérifie l'équation de Laplace [laplacien de w = à 0]. il nous faudra démontrer que la fonction f obéisse à l'équation d'Euler suivante: r²*df(r)/dr² +2 r*df(r)/dr -2 f(r)=0
Je vous remercie infiniment pour votre aide,
cordialement.
Bonsoir
Si tu tapes, sous Google:
écoulement irrotationnel autour d'une sphère
tu obtiens un lien vers un extrait de livre traitant l'exercice de façon détaillée:
Physique tout en un PC-PC* 4ème éd
Chapitre 8 paragraphe d
Pages 278 et suivantes.
Bonsoir,
Ce livre dont vous venez de parler n'existe pas en format pdf, j'ai déjà un bouquin similaire , mais de PSI et non pas de PC.
Si vous avez rencontré cet extrait en surfant sur le google merci de m'indiquer le lien direct parce que je ne le trouve pas.
Cordialement.
voici le lien
N'hésite pas à poser des questions si certains raisonnement ne te paraissent pas clairs !
Ce lien ne donne que la page de couverture du bouquin.
De toute manière, qu'avez vous compris en lisant le corrigé de l'exercice, faisant apparaitre ma question- qui s'y trouve?
Un grand MERCI de m'apporter ce raisonnement qui a été utilisé, mais en détaillant de plus.
Hello Ea1
La candeur n'excluant pas l'entêtement. Je reviens avec ma question "A quoi correspond x?"
Bonne journée Dirac,
le x correspond à un angle teta qu'on vient de mentionner en travaillant avec les coords sphérique avec lesquelles on envisage l'écoulement perturbé par un obstacle sphérique. De même pour le petit r, c'est une variable juste pour mentionner la distance séparant le point M du fluide du point O du repère galiléen.
En somme, le vecteur OM est déterminé par les deux valeurs x et r.
Je vous remercie- je ne m'entête rien du tout
- à bientôt.
Le lien que je t'ai fourni fonctionne parfaitement bien sur ma tablette sous Android mais Android et Google...
Si tu choisis un axe (O,x) orienté suivant la direction et le sens de la vitesse loin de la sphère, O étant le centre de la sphère, ton problème est invariant par rotation autour de cet axe. Tu peux donc te contenter d'étudier la vitesse dans un plan quelconque contenant cet axe, ce qui te permet de travailler en coordonnées polaires (r,
). Comme déjà souligné en vain par dirac (boujour à lui !) : que vient faire la variable x ici ?
En admettant que le potentiel est de la forme f(r).cos(), il suffit de connaître l'expression du laplacien en coordonnées polaires (ou coordonnées cylindro polaire en posant z = 0). Si tu n'as pas cette formule, tu peux regarder le formulaire en bas de ce document :
Pour une meilleure qualité des formules, ouvre de préférence le fichier au format pdf :
operateurs.pdf
Si x représente dans un système de coordonnées sphériques ... appelons ? 
Et alors, comme le suggère Vanoise, il ne faut pas hésiter à se lancer dans le calcul du Laplacien, en ayant pris soin de rappeler les symétries du dispositif qui permettent en particulier de s'affranchir de la 3ème coordonnées.
Je vous remercie Dirac et Vanoise,
à Dirac: vous m'avez posé une question qui peut paraitre d'emblée rhétorique, ce qui m'a poussé à chercher partout ds l'exo une relation liant ce x et l'équation diff car le x ne peut représenter qu'un angle donc d'où vient ce malentendu là?!
à Vanoise:le lien ne fonctionne pas, peut être par cause du yahoo surfer que j'utilise
.
MERCI, Dirac et Vanoise, vos propositions ont été tout à fait justes
Je vous remercie encore une fois.
Donc tu as pu constater que
Ce qui était la seule étape nécessitant réel "calcul" dans l'établissement de l'expression du Laplacien
Et j'oubliais, en rédaction de solution, glisser au passage l'invariance par rotation de 
(la 3eme coordonnée dans l'espace) est toujours bien vue du lecteur/correcteur/examinateur. Même si ici cela est bien sûr sous entendu par la donnée du potentiel
Il y en a de nombreuses astuces
Ce qui m'a posé problème était le formulaire mathématique que je n'ai pas bien mémorisé et que je n'ai pas cru ayant lieu ds l'exo. Tout ce post pèse sur le formulaire mathématique en coords polaires, le reste n'est pas trop difficile à faire
Comment mémoriser ce bazar là?
(le formulaire mathématique) et par quelle démarche mathématique on l'a trouvé? (ça m'accable de curiosité)
Comment mémoriser ce bazar là?
Les autres je ne sais pas, pour ma part j'ai un formulaire papier + une copie dans ma calculette
par quelle démarche mathématique on l'a trouvé?
Par le calcul ... qui n'est pas non plus si compliqué: le laplacien c'est l'opérateur div appliqué à l'opérateur grad. Je t'encourage à faire le calcul une fois, pour t'en souvenir?
PS: ici, c'est un système de coordonnées sphérique qui doit être utilisé et non pas polaire
d'où ma remarque précédente concernant l'invariance par rapport à 
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