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Ecoulement d'une source, cinematique des fluides
Bonjour,
Je bloque sur un exercice de cinematique des fluides ...
voici l'enoncé : une source cylindrique a un plan de symetrie xOy, d'axe Oz, de rayon negligeable et de hauteur h, faible.
Elle emet un fluide incompressible, de manière uniforme le long de Oz, en regime permanent. SOit Dv le débit volumique.
Les lignes de courant sont rectiligines , et correspondent à un champ de vitesse de type v=v(r).er
1.Exrpimer v au point M en fonction de Dv, h , et r ( le rayon.)
J'ai trouvé un cours qui m'a aidée, en utilisant les coordonnées cylindriques , il indiquait
r =
/r = Vo/r
u=/r
=0
Avec l'angle entre un rayon et Ox et l'arc de cercle entre un rayon et Ox.
j'aurais besoin d'eclaircissements sur ce resultat, je ne comprend pas comment on obtient ce resultat..
Ensuite, on exprime Dv=
v.dS = vdS
=v(r)2
rh
d'où v' = Dv/2rh
d'autre part, on dit que v(M) dérive 'un potentiel scalaire (M) si 'lon peut poser v=grad
a) Determiner le potentiel (r) de l'ecoulement de la source à une constante près
b) Quelle est la nature des surfaces equipotentielles (r) = cst
c) Justifier la propriété géométrique suivante : les lignes de courant sont orthogonales aux surfaces equipotentielles
Nous venons juste de terminer le cours, je suis complètement perdue avec cet exercice...
Merci de votre aide;
Eléonore
hello
je suis ok pour ton raisonnement sur le Dv constant qui permet d'obtenir v. Je ne sais pas pourquoi tu as mis "v'", une erreur de frappe ?
les premières lignes de ta réponse à la 1) que tu as recopié d'un bouquin servent pour la question a) :
tu as v = grad phi donc il faut exprimer le gradient en coordonnées cylindriques :
grad = /r .er + 1/r./.e
on va laisser tomber la 3e dimension (selon Oz) pour des raisons évidentes de symétrie.
on a donc par identification :
/r = Dv/(2pi.r.h)
1/r./ = 0
en cherchant une solution, on trouve = -Dv/(2pi.h.r²) + constante
b) les surfaces à = cste sont donc des cercles (ou des cylindres en 3D)
c) on a vu que les lignes de courant étant des droites qui partent du cylindre selon des directions radiales. Or on a des surfaces équipotentielles qui sont des cylindres. un petit dessin te montrera que les lignes de courant sont bien orthogonales aux surfaces équipotentielles.
merci beaucoup !
Enfait ce que je ne comprenais pas dans le raisonnement tiré du livre, c'est comment arriver à ce résultat ?
Je ne suis pas à l'aise avec les coordonnées polaires...
en maths spé il va quand meme falloir te familiariser avec ces coordonnées polaires 
tu identifies les composantes du vecteur v et du vecteur gradient de phi
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