Niveau licence

Dynamique - Energies : Vitesse de libération

Posté par
Dragonfruit 19-11-17 à 15:57

Bonjour,

J'écris ce topic afin de vous demander un peu d'aide dans cet exercice où j'ai quelques difficultés.

Un point matériel M de masse m dans un champ de gravitation de la Terre subit la force de gravitation de la forme :

$\vec{F}=F(r)\vec{u}$ avec $F(r)=-\frac{G_{0}mM_{T}}{r²}$

où r est la distance entre le projectile et le centre O de la terre, M_T la masse de la Terre, G₀ la constante universelle de gravitation et $\vec{u}$ le vecteur unitaire radial dirigé de O vers M.
On supposera que les frottements de l'air sont négligeables.

Dynamique - Energies : Vitesse de libération

1) L'énergie potentielle de gravitation E_p(r) est définie par la relation :

$F(r)= -\frac{dE_{p}}{dr}$

En intégrant cette relation entre une valeur r quelconque et r=, et en prenant une énergie potentielle nulle à l'infini (E_p(r=)=0), montrer que la fonction E_p(r) est de la forme :

$E_{p}(r)= -\frac{G_{0}mM_{T}}{r}$

Tracer l'allure de l'énergie potentielle en fonction de r.

2) Un projectile M de masse m est lancé verticalement vers le haut à partir de la surface de la terre (r=R_T) avec une vitesse initiale v₀. Déterminer la vitesse du projectile v_h à une hauteur h au-dessus de la surface de la terre (r=R_T+h), en fonction de v₀, G, M_T, R_T et h où R_T est le rayon de la Terre. On pourra utiliser la conservation de l'énergie mécanique totale.

3) La vitesse de libération est définie comme la vitesse minimale v₀ du projectile nécéssaire pour que l'objet ne retombe jamais sur la terre, c'est-à-dire que le projectile arrive à l'infini avec une vitesse nulle. Calculer la vitesse de libération v_lib à la surface de la terre. Exploitez le graphe de la question 1 pour justifier votre raisonnement.

Application numérique : on donne G=6,67x10^-11m³kg^-1s^-2, R_T=6400km, M_T=6,0x10²⁴kg.
Calculer v_lib.

4) Application : le rayon de Schwarzschild. Le rayon de Schwarzschild d'une masse m est le rayon de la sphère dans laquelle cette masse doit être contenue pour que la vitesse de libération à la surface de la sphère soit supérieure à celle de la lumière. Calculer le rayon de Schwarzschild d'une masse égale à celle de la Terre. On donne la vitesse de la lumière : c=3x10⁸m.s^-1

Est-ce que ça serait possible de me lancer afin que je puisse continuer ?

Merci d'avance pour votre patience.