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Dynamique
Bonjour les amis je suis coincé sur la question 4! pouvez vous m'aidez s'il vous plait ?
L'eau exerce sur la bille :
- une force �� appelée Poussée d'Archimède, dirigée vers le haut, égale en norme
à M.g (avec M < m )
- une force de frottement fluide �� opposée à la vitesse �� = − ��. �� où �� est une
constante.
1) Exprimer le PFD et le projeter sur ��! ���� ��!
2) En déduire les composantes ��! ���� ��! de la vitesse suivant (Ox) et (Oz)
3) Montrer que �� tend vers une limite ��! qui s'exprime en fonction de m, M, g et
��
4) Trouver l'équation de l'hodographe du mouvement et tracer l'hodographe
pour les vitesses comprises entre ��! et ��!
5) Déterminer les équations horaires du mouvement.
6) Montrer que la position de la bille évolue vers une asymptote
Re,
Bon, si vous pouvez m'expliquer le problème ...
C'est quoi m ?
Et la bille n'est pas soumise à son poids ?
Re,
Donc bille qui tombe, soumise à 3 forces , poids , Archimède, et une force de frottement proportionnelle à la vitesse .
Ecrire que la somme des forces est égale à m.gamma ;
Vous avez une équation différentielle du premier ordre à résoudre .
Euh ! non j'ai eu une équation diff du second ordre enfin deux équations l'une sans second membre et l'autre avec second membre
mg - Mg - Lambda.V_z = m.dv_z/dt (avec axe des z vertical vers le bas).
- Lambda.V_x = m.dV_x/dt (avec axe des x horizontal).
Le plan Oxz contenant la trajectoire de la bille.
dv_z/dt + (Lambda/m).v_z = g.(m-M)/m
dV_x/dt + (Lambda/m).v_x = 0
Ce sont les équations différentielles donnant les composantes de la vitesse de la bille suivant les axes du repère.
Il faut résoudre ces équations pour trouver v_z(t) et v_x(t), c'est sans difficulté.
Et si on veut les équations différentielles des positions au lieu des vitesses, on a :
d²z/dt² + (Lambda/m).dz/dt = g.(m-M)/m
d²x/dt² + (Lambda/m).dx/dt = 0
Si la vitesse initiale n'a pas de composante horizontale, alors la 2eme équation est inutile.
Pour trouver les expressions de z(t) et de x(t), soit on résout les 2 équations ci-dessus ...
Soit on repart des expressions qu'on a du trouver de v_z(t) et de v_x(t) pour en déduire celles de z(t) et de x(t)
(En se rappelant de v_x = dx/dt et que v_z = dz/dt)
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Vitesse limite.
dv_z/dt + (Lambda/m).v_z = g.(m-M)/m
dV_x/dt + (Lambda/m).v_x = 0
Quand la vitesse est stabilisée, les dérivées des composantes de v par rapport au temps sont nulles. -->
(Lambda/m).v_z = g.(m-M)/m
(Lambda/m).v_x = 0
V_x = 0 (la composante horizontale de la vitesse tend vers 0 ...)
v_z = g.(m-M)/Lambda
Donc la vitesse limite est verticale vers le bas et de norme g.(m-M)/Lambda
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Sauf distraction. (Rien vérifié) 
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