Niveau autre

Divergence d'un champ

Posté par
RaFFoX 25-09-07 à 11:03

Bonjour,

Je suis actuellement en train de faire un petit calcul, et j'ai un léger point délicat qui surgit. Je travaille dans un espace vectoriel à trois dimensions, dans une base orthonormée $(\vec{e}_1,\vec{e}_2,\vec{e}_3)$ , tel que tout vecteur $\vec{x}=(x_1,x_2,x_3)$ s'écrive $\vec{x}=x_1\vec{e}_1+x_2\vec{e}_2+x_3\vec{e}_3$ . Je suis en présence du champ de vecteur suivant :

$\vec{V}(\vec{x})=\frac{\det(\hat{C})}{2}\frac{\vec{x}}{|\hat{C}\vec{x}|^3}$ ,

où $\hat{C}$ est une matrice $3\times3$ inversible quelconque.

On peut y voir une analogie avec le champ électrique rayonné par une charge électrique dans une sorte d'espace "anisotrope" dû à la matrice $\hat{C}$ .

Ma question est la suivante : quelle est la divergence de ce champ ? Il est facile de vérifier que la divergence du champ est nulle quand $\vec{x}$ est différent de $\vec{0}$ . Si je calcule le flux de ce champ à travers une surface quelconque enfermant l'origine, cela revient à intégrer la divergence du champ dans tout le volume enfermé par la surface. Par ce résultat, on peut donc remonter à la valeur de la divergence du champ à l'origine. J'ai essayé de calculer le flux de $\vec{V}$ à travers une sphère centrée à l'origine mais je ne m'en dépatouille pas. Il doit y avoir un moyen plus simple mais je ne le vois pas, quelqu'un pourrait-il m'avancer ? Merci d'avance.