Niveau maths spé

Diffusion à deux dimensions

Posté par
Narfi 13-06-16 à 21:03

Salut !

J'essaie de faire un exercice de diffusion de particules et je galère un peu pour établir l'équation de la diffusion.
On considère un tuyau cylindrique d'axe Ox, de rayon a, de paroi poreuse d'épaisseur e << a et de longueur L >> a. Ce tuyau contient un produit de densité particulaire n(x) et il y a de la diffusion selon x et selon la paroi poreuse. On donne les les coefficients de diffusion D et D' << D selon les dimensions x et r. A l'exterieur du tube, n=0.

J'essaie d'établir l'équation de diffusion. Je considère alors une couronne cylindrique, entre les abscisses x et x+dx, ainsi qu'entre les rayons r et r+dr.
La variation du nombre de particules par unité de temps est : $dN/dt = 2 \pi r dr dx \frac{\parial n}{\partial t}$ et vaut le flux entrant en x et entrant en r, moins le flux sortant en x+dx et en r+dr. Alors : $dN/dt = \phi(x) - \phi(x+dx) + \phi(r) - \phi(r+dr) = - \frac{\partial \phi}{\partial x} dx - \frac{\partial \phi}{\partial r} dr$ .

J'ai du mal à simplifier cette expression pour arriver à quelque chose qui ressemblerait à une équation de la diffusion, particulièrement à cause des dr et des dx en facteur des dérivées partielles.

Une idée ?

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 13-06-16 à 22:02

Bonsoir
Tu as bien une densité particulaire qui ne dépend que de x ?
Dans ce cas, le bilan sur une tranche comprise entre les sections d'abscisses x et (x+dx) prend en compte le flux entrant en x, le flux sortant en (x+dx) et le flux sortant latéral...
Pas de renseignement sur la densité particulaire à l'extérieur du tuyau poreux ? Il est possible peut-être de la considérer comme négligeable...

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 13-06-16 à 22:07

Dans le tuyau elle ne dépend que de x, mais une fois qu'on se place à un point dans la paroi, elle dépend aussi de r. Enfin c'est comme ça que j'interprète l'énoncé :
"Le tuyau contient un produit dont la densité particulaire est n(x). Il y a de plus un phénomène de diffusion à travers la paroi poreuse d'épaisseur e. Il y a donc un phénomène de diffusion selon Ox et à travers la paroi latérale."
Donc je pense que la densité à déterminer n'est que "dans" la paroi poreuse.

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 13-06-16 à 23:38

Voici une démonstration possible ; à toi de voir si elle ” colle ” bien avec toutes les hypothèses de ton problème. Je note j la composante suivant x du vecteur densité de courant de particules dans le cylindre (la seule composante non nulle dans ce cylindre) et j_L la composante latérale de ce vecteur dans la paroi (la seule composante non nulle dans la paroi). La variation entre t et (t+dt) du nombre de particules comprises entre les sections droites d'abscisses x et x+dx peut s'écrire de deux façons :
Première façon en exprimant cette variation comme une différentielle (en notant a le rayon interne du tuyau cylindrique) :

$d^{2}N=\pi a^{2}\cdot\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}\cdot dt\cdot dx$
Deuxième façon en effectuant un bilan de matière ; cette variation est une somme de trois termes :
* variation due au flux entrant à travers la paroi d'abscisse x :

$\pi a^{2}\cdot j(x,t)\cdot dt$
* variation due au flux sortant à travers la paroi d'abscisse x+dx :

$-\pi a^{2}\cdot j(x+dx,t)\cdot dt$
* variation due au flux sortant à travers la parois latérale :

$-2\pi a\cdot dx\cdot j_{L}(x,t)\cdot dt$
Cela donne :

$d^{2}N=\pi a^{2}\cdot\left(j(x,t)-j(x+dx,t)\right)\cdot dt-2\pi a\cdot dx\cdot j_{L}(x,t)\cdot dt=-\pi a^{2}\cdot\frac{\partial j(x,t)}{\partial x}\cdot dx\cdot dt-2\pi a\cdot dx\cdot j_{L}(x,t)\cdot dt$
Après identification et simplification :

$a\cdot\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=-a\cdot\frac{\partial j(x,t)}{\partial x}-2j_{L}(x,t)$
Loi de Fick appliquée au tuyau :

$j(x,t)=-D\frac{\partial n(x,t)}{\partial x}$
Loi de Fick appliquée à la paroi latérale en supposant e très faible et la densité de particule négligeable à l'extérieur :

$j_{L}(x,t)=D'\cdot\frac{n(x,t)}{e}$
Après simplification et identification, on obtient l'équation différentielle de conservation de la matière :

$\boxed{a\cdot\frac{\partial n(x,t)}{\partial t}=a\cdot D\cdot\frac{\partial^{2}n(x,t)}{\partial x^{2}}-\frac{2D'}{e}\cdot n(x,t)}$
J'imagine que la suite consiste à étudier le régime permanent...

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 14-06-16 à 18:46

C'est ce que j'avais par commencé à faire, mais l'énoncé semble sous-entendre une dépendance en r également...

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 14-06-16 à 21:15

Bonsoir,
Pour te rassurer totalement, voici la démonstration tenant compte de la variation de j_Len fonction de r dans la paroi. Puisque e<<a, les deux méthodes aboutissent au même résultat !
Mon post précédent a conduit à une contribution à la variation de $d^{2}N$ de la diffusion latérale égale à :

$d^{2}N_{L}=-2\pi a\cdot dx\cdot j_{L}(x,t)\cdot dt$
soit en tenant compte de la loi de Fick :

$d^{2}N_{L}=-2\pi a\cdot dx\cdot j_{L}(x,t)\cdot dt=-2\pi a\cdot dx\cdot dt\cdot D'\cdot\frac{n(x,t)}{e}$
Refaisons le raisonnement en supposant que j_L dépend aussi de r entre r=a et r = a+e. $d^{2}N$ représente le flux de j_L à travers le cylindre de rayon r et de longueur dx :

$d^{2}N_{L}=-2\pi r\cdot dx\cdot j_{L}(x,r,t)\cdot dt\quad avec\quad j_{L}(x,r,t)=-D'\cdot\frac{\partial n(x,r,t)}{\partial r}\quad\text{(loi de Fick)}$

$d^{2}N_{L}=2\pi r\cdot dx\cdot dt\cdot D'\cdot\frac{\partial n(x,r,t)}{\partial r}\quad soit\quad\frac{\partial n(x,r,t)}{\partial r}=\frac{d^{2}N_{L}}{2\pi r\cdot dx\cdot dt\cdot D'}$
Par intégration :

$n(x,r,t)=\frac{d^{2}N_{L}}{2\pi\cdot dx\cdot dt\cdot D'}\cdot\ln\left(r\right)+Cte$
Cas limites :

$r=a\quad;\quad n(x,t)=\frac{d^{2}N_{L}}{2\pi\cdot dx\cdot dt\cdot D'}\cdot\ln\left(a\right)+Cte$

$r=a+e\quad;\quad0=\frac{d^{2}N_{L}}{2\pi\cdot dx\cdot dt\cdot D'}\cdot\ln\left(a+e\right)+Cte$
Par soustraction :

$n(x,t)=\frac{d^{2}N_{L}}{2\pi\cdot dx\cdot dt\cdot D'}\cdot\ln\left(\frac{a}{a+e}\right)$

$\boxed{d^{2}N_{L}=-2\pi\cdot dx\cdot dt\cdot D'\cdot\frac{n(x,t)}{\ln\left(\frac{a+e}{a}\right)}}$
Un peu de mathématiques pour finir ... sachant que e<<a, un développement limité à l'ordre un en e/a conduit à :

$\ln\left(\frac{a+e}{a}\right)=\ln\left(1+\frac{e}{a}\right)\approx\frac{e}{a}$
D'où l'expression simplifiée identique à celle obtenue dans mon message précédent :

$\boxed{d^{2}N_{L}=-2\pi a\cdot dx\cdot dt\cdot D'\cdot\frac{n(x,t)}{e}}$

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 14-06-16 à 21:20

Je comprends mieux. Une dernière question qui me tracasse : quand on prend la contribution du reste du fluide (ce qui rentre en x et sort en x+dx), on écrit directement que le flux vaut $js$ , mais ce résultat n'est vrai que si j est uniforme, quand on peut le sortir de l'intégrale. Je pense que je me complique beaucoup la tâche, mais je ne vois pas comment écrire les choses en prenant ça en compte.

Posté par re : Diffusion à deux dimensions 14-06-16 à 21:58

Effectivement, comme tu l'as expliqué le 13-06-16 à 22:07 , ma démonstration suppose que la composante du vecteur $\vec{j}$ suivant x ne dépend pas de r mais peut dépendre de x et de t... C'est, je crois, une hypothèse raisonnable compte tenu de L>>a.

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