Es-tu bien sûr que c'est l'équation différentielle que tu dois trouver ?
... car ce n'est pas nécessaire si on veut trouver l'expression de u(t) en régime permanent.
(C'est alors plus facile par la détermination de l'impédance complexe vue par le générateur ... suivie d'une manipulation facile)
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Si c'est vraiment l'équation différentielle de u(t) que tu veux :



u1 + u = E.cos(wt)
u = R.i
i2 = C.dU1/dt
u1 = L.di1/dt
i = i1 + i2

On élimine u1 :
L.di1/dt + u = E.cos(wt)
u = R.i
i2 = LC . d²i1/dt²
i = i1 + i2

On élimine i2 :
L.di1/dt + u = E.cos(wt)
u = R.i
i = i1 + LC.d²i1/dt

On élimine i :
L.di1/dt + u = E.cos(wt) --> di1/dt = E.cos(wt)/L - u/L
u/R =  i1 + LC.d²i1/dt --> du/dt = R.di1/dt + RLC.d³i1/dt²

d²i1/dt² = -E.w.sin(wt)/L - 1/L. du/dt
d³i1/dt³ = -E.w².cos(wt)/L - 1/L. d²u/dt²

du/dt = R.(E.cos(wt)/L - u/L) + RLC.(-E.w².cos(wt)/L - 1/L. d²u/dt²)
du/dt = R.E.cos(wt)/L - R.u/L - RC.E.w².cos(wt) - RC. d²u/dt²

RC. d²u/dt² + du/dt + (R/L).u = E.cos(wt) * (R/L - RC.w²)

d²u/dt² + (1/(RC)).du/dt + (1/(LC)) * u =  E.cos(wt) * ( 1/(LC) - w²)

d²u/dt² + (1/(RC)).du/dt + (1/(LC)) * u =  E.cos(wt) * ( 1 - w²LC)/(LC)
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Sauf distraction (Non vérifié).

Merci beaucoup pour tes explications très complètes !
J'avais trouvé finalement en faisant autrement, en dérivant e(t) tout de suite (mais je ne sais pas si on pouvait le faire... et finalement si !). J'arrivais bien à :
e = u + L d/dt (u/R - C d/dt (e-u)) et après supplication, tout s'arrange bien.

Autre question sur un sujet qui revient souvent : je décide ensuite de trouver l'amplitude Um du signal donc je passe en complexes. Je pose ₀² = 1/LC et Q=₀/(1/RC)) et j'arrive à ça pour simplifier :
u'' + ₀/Q u' + ₀² u = E*cos(t)(₀²-²) puis je passe dans et j'ai :
u(-²+₀²+₀/Q j)=Ecos(t)(₀²-²)
Et finalement :
u = Ecos(t)(₀²-²) / (-²+₀²+₀/Q j)
Ensuite, pas de problème, je calcule le module.
Est-ce correct ?