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Différence de résultat pour deux calculs de Laplace

Posté par
Musicaul 14-11-20 à 16:17

Bonjour, j'ai un petit souci, je n'arrive pas à obtenir les mêmes résultats avec deux méthodes de calcul différentes de transformation de Laplace.

Voici la fonction dont il faut calculer la transformée de Laplace :
C'est une fonction rampe de coefficient directeur \frac{A}{T} de 0 à T et constante égale à A de T à 2T. Elle vaut 0 partout ailleurs.

Je vous épargne les calculs, mais la première méthode qui découle de la définition intégrale de la transformée de Laplace me permet de trouver après mise en place d'une IPP, le résultat suivant : F(p)=\frac{A}{Tp^2}-\frac{A}{Tp^2}  e^{-Tp}-\frac{A}{P}  e^{-2Tp}

La deuxième méthode qui consiste en l'utilisation de la fonction porte ou échelon permet de faire la déduction suivante :
f(t)=\frac{A}{T} t u(t) + (A-\frac{A}{T} t)u(t-T) -Au(t-2T)

ce qui permet de déterminer sa transformée de Laplace via les tables :

F(p)=\frac{A}{Tp^2}+(\frac{A}{p} - \frac{A}{Tp^2})  e^{-Tp}-\frac{A}{P}  e^{-2Tp}.

Il apparait un terme en plus, le terme \frace{A}{P} e^{-Tp}.
Alors où est l'erreur ? Après maintes lectures, impossible de trouver l'erreur. Si quelqu'un peut m'éclairer ce serait sympa.

Merci d'avance.

Posté par
Musicaulre : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 14-11-20 à 16:20

Le terme en plus est \frac{A}{P} e^{-Tp} pardon.

Posté par
gts2re : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 14-11-20 à 17:08

Bonjour,

La règle pour une translation temporelle dans une transformée de Laplace est :
f(t-t_0)\Upsilon(t-t_0) \to \exp(-pt_0) F(p)

Dans votre cas votre fonction est -\frac{A}{T}(t-T)\Upsilon(t-T) et donc la TL est -\frac{A}{T}\exp(-Tp)\frac{1}{p^2}

Posté par
Musicaulre : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 14-11-20 à 18:41

La deuxième expression serait donc fausse ?

Posté par
gts2re : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 14-11-20 à 18:57

Le deuxième terme de la deuxième TL est en effet incorrect.

Posté par
Musicaulre : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 14-11-20 à 21:21

Sympa pour une expression qui vient d'un ouvrage d'automatique.

Posté par
gts2re : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 15-11-20 à 07:20

Vous avez trouvé quoi dans un ouvrage d'automatique ?

TL(f(t)\Upsilon(t-\tau)) =\exp(-p\tau)TL(f) en tout cas, c'est ce que vous avez écrit.

\int_0^\infty e^{-pt} f(t) \Upsilon(t-\tau) dt=\int_\tau^\infty e^{-pt} f(t) dt=\int_0^\infty e^{-p(u+\tau)} f(u+\tau)  du=e^{-p\tau}\int_0^\infty e^{-pu} f(u+\tau)  du \neq e^{-p\tau}\int_0^\infty e^{-pu} f(u)  du

Posté par
Musicaulre : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 15-11-20 à 09:29

Dans l'ouvrage, il y a écrit mot pour mot :

A partir de la représentation de f(t), on peut écrire que
f(t)=\frac{A}{T} t u(t) + (A-\frac{A}{T} t)u(t-T) - Au(t-2T)

dont la transformée de Laplace est donnée par
F(s)=\frac{A}{Ts^2}+(\frac{A}{s}-\frac{A}{Ts^2}) e^{-Ts} - \frac{A}{s} e^{-2Ts}

Posté par
gts2re : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 15-11-20 à 09:32

Cela est clairement faux.

Quel est cet ouvrage ?

Posté par
mmalou Webmasterre : Différence de résultat pour deux calculs de Laplace 15-11-20 à 09:37

Bonjour à vous deux

Musicaul, voilà plusieurs fois que nous te demandons de renseigner ton profil, ce que tu n'as toujours pas fait.

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q12 - Dois-je forcément indiquer mon niveau lorsque je poste un nouveau topic ?



le sujet est donc verrouillé, et ne sera déverrouillé que lorsque tu seras en règle vis à vis du site.

mets un mail à gbm [lien] ou à moi [lien] pour qu'on te redonne ensuite l'accès au site.


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