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dielectriques cylindres coaxiaux

Posté par
Nico15110 16-12-17 à 11:34

On considere deux cylindres coaxiaux, concentriques, parfaitement conducteurs, de rayon respectif a et c. L'espace qui les separe est rempli de deux dielectriques diﬀerents de permeabilite ε1 et ε2 selon la repartition:
ε1 si a < r < b
ε2 si b < r < c

Le conducteur interieur est au potentiel V = 0 et le conducteur extérieur au potentiel
V=V0

On veut déterminer la variation du potentiel en fonction de r la distance radiale,

On suppose qu'il n'y a pas de variation axiale. D'autre part, la symetrie de revolution permet d'eliminer les variations selon φ. L'equation de Lplace se reduit donc a` :

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})=0$

• En deduire que dans chacune des zones du cylindre le potentiel est de la forme:
V (r) = Aln(r) + B

je n'arrive pas a retrouver l'expression demander :
je pars de l'équation de laplace

$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})=0$
$\frac{1}{r}(V'(r)+r(V''(r))=0 \Rightarrow \frac{V'(r)}{r} +V''(r)=0$
$on pose V=V'(r)\Rightarrow V'=V''(r)$
$on obtient \int \frac{V'}{V}=\int \frac{-1}{r}\Rightarrow \ln (V)=-ln(r)+C\Rightarrow V(r)=\frac{1}{r}+B$
voila je ne comprend pas pourquoi je ne trouve pas ce qui est demandé .. si quelqu'un pouvait m'eclairer

dielectriques cylindres coaxiaux

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 16-12-17 à 12:36

Bonjour
Tu peux aussi déterminer l'expression du vecteur champ en fonction de r en utilisant le théorème de Gauss puis en déduire l'expression du potentiel.

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 16-12-17 à 17:43

oui c'est vrai j'arrive a la reponse demander avec le theoreme de gauss mais pourquoi l'equation de laplace ne fonctionne pas c'est que je realise une mauvaise resolution de l'equation ?

avec gauss j'arrive à :
$\frac{-Q_{int}}{2\pi h\epsilon _{0}} ln(r)+C1=V+C2 \Rightarrow V=Aln(r)+B$
$avec A= \frac{-Q_{int}}{2\pi h\epsilon _{0}}$
$avec B= C1-C2$

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 16-12-17 à 17:46

On a donc 4 constantes a determiner, A1 et B1pour a < r < b et A2 et B2 pour a < r < b. Reporter l'expression de V (r) dans les relations traduisant la continuite du potentiel en r = b d'une part et la valeur du pontentiel en r = 0 et r = c d'autre part.

• Quel est la composante de champ qui est continue en en r = b?
• En deduire l'expression du potentiel en fonction des seuls parametres a, b, c, ε1,ε2 , V0 .
• Deduire des questions precedentes, l'expression de la polarisation P pour a < r < b et pour b < r < c. La polarisation est-elle uniforme dans le dielectrique?
• Determiner les densites de charges de polarisation surfaciques et volumiques du dielectrique.
• Calculer la charge lineique portee par chacun des conducteurs. En deduire la capacite du condensateur

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 16-12-17 à 17:57

on a donc :
$V_{(a<r<b)} =A_{1}ln(r)+B_{1}$
$V_{(b<r<c)} =A_{2}ln(r)+B_{2}$

la composante continue en r=b est celle du champs electriques E
$E_{1}=E_{2} en r=b$

mais je suis un peu perdu je ne vois pas par ou attaquer le probleme mainenant ...

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 16-12-17 à 18:43

Il y a de bonnes choses dans ce que tu as écrit mais tu n'as pas fait la différence entre 1 et 2.
En particulier à l'interface entre les deux diélectriques en r = b, il y a continuité de D=E donc discontinuité de E puisqu'il y a discontinuité de puisque les vecteurs champ sont normaux à la surface de séparation des deux diélectriques... En revanche, il y a continuité de la composante tangentielle de E mais comme cette composante est partout nulle, cela n'est guère utile dans les calculs.

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 17-12-17 à 10:33

bonjour , j'ai repris le problème à tête reposer .

j'obtiens alors :
$\frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})=0\Rightarrow \frac{d}{dr}(r\frac{dV}{dr})=0\Rightarrow rV'=cste=A\Rightarrow V'=\frac{A}{r}\Rightarrow\mathbf{}$
ensuite je traduis la continuité du potentiel :
$V(r)=Aln(r)+b \begin{cases} & \text{V(r=a)=V(r=b)}\Rightarrow 0=Aln(b)+B \Rightarrow B=-Aln(b) \\ & \text{ V(r=b)=V(r=c)} \Rightarrow V_{0}=A(ln(b)-ln(b))=0 \\ \end{cases}$
c'est ici que je bloque j'ai un probleme de conditions aux limites ...

Posté par re : dielectriques cylindres coaxiaux 17-12-17 à 15:25

Je pense que tu bloques parce que tu te contentes de raisonner sur l'équation de Poisson sans prendre en compte le vecteur champ électrique déduit du théorème de Gauss. Lis bien la fin de l'énoncé : le but principal de cet exercice est d'obtenir l'expression de la capacité du condensateur.
Si je note Qi la charge de l'armature intérieure d'une portion de hauteur h de condensateur, la norme du vecteur champ électrique vérifie :

pour a<r<b : $E=\frac{Q_{i}}{2\pi\varepsilon_{1}h.r}=\frac{\lambda_{i}}{2\pi\varepsilon_{1}.r}\quad\text{avec \ensuremath{\lambda_{i}}}\text{: charge linéique}$

pour b<r<c : $E=\frac{\lambda_{i}}{2\pi\varepsilon_{2}.r}$

D'où les expressions des potentiels :

pour a<r<b : $V=-\frac{\lambda_{i}}{2\pi\varepsilon_{1}}\ln\left(r\right)+B_{1}$

pour b<r<c : $V=-\frac{\lambda_{i}}{2\pi\varepsilon_{2}}\ln\left(r\right)+B_{2}$

Par identification :

$A_{1}\cdot\varepsilon_{1}=A_{2}\cdot\varepsilon_{2}=-\frac{\lambda_{i}}{2\pi}$

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