Bonjour a tous !

Je suis en première année de Prépa et mon thème de TIPE est "l'océan".
Je m'intéressais en particulier aux solitons afin d'avancer dans mon sujet (propagation des solitons) et je suis tomber dans mes recherches sur un DM à ce sujet, or il s'avère que je le trouve particulièrement difficile et il  n'y a pas de corrigé associé... Donc si vous avez un peu de temps, ça pourrait être sympa de m'aider à avoir les solutions de ce sujet !
Le voici :


Un exemple naturel de propagation d'ondes est le phénomène des vagues sur la mer. Certaines vagues sont particulièrement étonnantes : les vagues scélérates ou les mascarets. Les ondes correspondantes sont appelées en physique des solitons. Elles interviennent dans plusieurs domaines. Le but de ce problème est d'en proposer une modélisation et d'en étudier certaines propriétés.


Une des difficultés posées par les solitons est leur modélisation. La plupart des équations classiques modélisant les problèmes de propagation ne possèdent pas de solutions ressemblant à des solitons. L'équation de Korteweg et de Vries (KdV) est le premier modèle convenable. On considère des vagues, dans un milieu de faible profondeur, se propageant dans une seule direction. Si on note ϕ(x,t) le niveau de l'eau à l'abscisse x à l'instant t, alors l'évolution de ϕ est donnée par l'équation KdV (simpliée) :

∂ϕ/ ∂t + 6ϕ *(∂ϕ /∂x) + ∂^3ϕ /∂x^3 = 0


1 L'équation KdV linéarisée

Afin de bien comprendre la difficulté d'établir l'existence de solitons, nous allons commencer par étudier une autre équation que l'équation KdV. L'équation de KdV linéarisée est
(E)
∂ϕ/ ∂t  + ∂^3ϕ /∂x^3 = 0

Nous n'allons pas résoudre complètement l'équation. Nous cherchons une solution correspondant à une onde se propageant à vitesse constante : sa forme globale reste la même, mais elle se déplace au cours du temps. Cela revient à chercher une solution ϕ de (E) sous la forme ϕ(x,t) = f(x−vt) avec v > 0.

1. En notant y = x−vt, montrer que f est solution de −vf'(y) + f'''(y) = 0.

2. Intégrer l'équation puis la résoudre.

3. Les solutions ϕ obtenues sont-elles des solitons? Quel est le lien entre la vitesse de propagation et la fréquence de la solution obtenue?

4. Considérons une vague qui, à l'instant t = 0, a la forme d'un soliton. On peut la décomposer, avec une transformée de Fourier, en une combinaison de fonctions sinusoïdales. D'après le résultat de la question précédente, comment va évoluer la vague? On parle de dispersion de l'onde.


2 Résolution de l'équation KdV

Comme dans la partie précédente, nous ne cherchons pas toutes les solutions de l'équation KdV mais seulement une solution ϕ de la forme ϕ(x,t) = f(x−vt).

1. En notant y = x−vt, montrer que f est solution de l'équation:
−v*f'(y) + 6f(y)*f'(y) + f'''(y) = 0.

2. En intégrant cette équation deux fois, montrer

−v/2 *f'' + f''' + 1/2 f^2 = Af + B,

où A et B sont des constantes réelles.

3. La solution que l'on cherche est une onde plate à l'infini. On impose donc que les limites de ϕ, ∂ϕ /∂x et ∂2ϕ /∂x2 soient nulles quand x tend vers l'infini. En déduire que A et B sont nulles.

4. Poser g(y) = 1 /√f(y). Montrer:

(√2)g' / √(v/2 * g^2 −1) = ±1.

5. En utilisant argcosh'(u) = 1 /√(u^2−1), montrer qu'on obtient normalement une solution

ϕ(x,t) = v / 2cosh^2(√(v)/2 * (x−vt))
.