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Détermination d'und force de frottement
Bonsoir.
Je suis sur un exercice ouvert qui demande de déterminer une force de frottement fluide dans le cadre de l'expérience suivante :
On s'intéresse au mouvement d'une bille lâchée dans un tube de glycérine, on se place selon un axe (Oz) vertical dirigé vers le bas.
La bille est soumise à trois forces a priori : son poids , la poussée d'Archimède
ainsi que cette fameuse force de frottement fluide opposée au vecteur vitesse, telle que
.
Cette expression est juste hypothétique car il faut modéliser une force qui peut s'écrire sous la forme où a peut valoir 1 ou 2, et v est la vitesse de la bille.
Ma stratégie, donc, serait de déterminer la vitesse v : après application du PFD je tombe sur .
Avec un enregistrement vidéo du mouvement de la bille, on peut obtenir ses coordonnées, donc sa position à chaque instant puis il suffit de dériver les valeurs (méthode d'Euler) pour obtenir la courbe représentative de v.
Le seul souci, c'est que je ne sais pas comment déterminer a, qui peut valoir 1 ou 2.
En fait, j'ai supposé f proportionnelle à la vitesse mais elle peut aussi être quadratique et je ne sais pas comment trouver une équation différentielle unifiant un peu les deux concepts.
Alors si vous avez des idées, je suis preneuse !
Un grand merci par avance.
Bonsoir
D'abord une remarque sur la poussée d'Archimède : si tu adopte l'indice G pour la glycérine et l'indice B pour la bille, son expression est :
La relation fondamentale de la dynamique en projection sur un axe (O,z) vertical descendant s'écrit :
Sachant que :
On obtient l'équation différentielle :
Pour tester l'hypothèse a = 1, les choses sont simples ; en supposant la vitesse initiale nulle, la solution théorique est de la forme :
où 
est la constante de temps, et Va la limite asymptotique que tu obtiens graphiquement... Cela donne :
Tu peux tracer la courbe :
Si tu obtiens des points expérimentaux très proche d'une droite avec un coefficient de régression de valeur absolue très proche de 1, les points expérimentaux étant répartis à peu près équitablement de part et d'autre de la droite moyenne, tu pourras conclure : a = 1...
Réfléchis à ce que je viens de t'écrire et tente la méthode... On en reparleras ensuite si tu veux !
D'accord, j'ai compris ! Quelques imprécisions dans mes notations, effectivement.
Mais je peux quand même avoir une vitesse initiale si la bille est lancée dans le tube en amont : en touchant la surface du liquide, elle a bien une vitesse, non ?
À moins que je la pose sur le liquide en attendant qu'elle descende
La modélisation est plus simple dans ce cas...
deux questions :
- quel logiciel utilises-tu ? un tableur (Excel, LibreOffice...) ou un logiciel spécialisé dans l'acquisition et l'exploitation de données (Latis Pro, Synchronie, Régressi...) ?
- combien de points expérimentaux as-tu et quelle est la durée entre deux mesures consécutives ?
Je peux utiliser Excel ou Régressi, l'idée étant d'enregistrer le mouvement de la bille. A priori, je pense qu'il est plus simple de la lancer à l'entrée du tube et de garder les valeurs de positions de la bille une fois dans le liquide.
A priori, je pense qu'il est plus simple de la lancer à l'entrée du tube et de garder les valeurs de positions de la bille une fois dans le liquide
Si le diamètre du tube est assez faible, cette méthode est sans doute effectivement plus simple. Dans ce cas, attends que la bille soit totalement immergée dans la glycérine avant de lancer l'enregistrement car l'entrée de la bille dans la glycérine ne serait pas simple à modéliser. Avec une vitesse initiale Vo non nulle, l'expression de v en fonction de t, dans l'hypothèse a = 1, devient :
Pour vérifier l'hypothèse a = 1, il faut alors s'intéresser à :
Évidemment, la détermination expérimentale de v sera d'autant plus précise que la durée
t entre deux mesures successives sera faible.Autre approche possible :
Mesurer les vitesses limites atteintes avec des billes de même masse volumique mais de rayons différents.
Poids + P Archi + f = m dv/dt
Mais si on attend que v = V limite, alors dv/dt = 0 et on a : Poids + P Archi = -f
a) Si f = -k.v
4/3 Pi R³ * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g = 6.Pi.µ R.VL (Loi de Stokes)
--> VL = R² * [2/9 * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g]/µ
Or [2/9 Pi * (Rho(bille) - Rho(gly))]/(6.Pi.µ) est une constante (avec des billes de même masse volumique et une température fixée (pour le µ))
Et donc en faisant l'essai avec les billes de même masse volumique mais de rayons différents, VL varie comme R²
-----
b) Si f = -k'v²
k' = 1/2 * Rho(gly) * Cx * Pi * R²
4/3 Pi R³ * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g = 1/2 * Rho(gly) * Cx * Pi * R² * VL²
VL² = R * 8/3 * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g/(Rho(gly).Cx)
VL = RacineCarrée(R) * RacineCarrée[8/3 * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g/(Rho(gly).Cx)]
OR RacineCarrée[8/3 * (Rho(bille) - Rho(gly)) * g/(Rho(gly).Cx)] est une constante (Cx ne dépend que de la forme de la bille (donc sphérique))
Et donc en faisant l'essai avec les billes de même masse volumique mais de rayons différents, VL varie comme RacineCarrée(R)
-----
Il est donc facile de distinguer si f = -kv ou f = k'.v² avec deux essais avec 2 billes de même masse volumique et de rayons différents (les 2 essais à la même température).
Par exemple en faisant varier R d'un facteur 2, le rapport des Vlimites est 4 si f = -k.v et ce rapport est 1,4 si f = -k.v²
Calculs non vérifiés.
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Remarque, un peu hors sujet, quoique ...
Il est faux de penser que la force de frottement est soit proportionnelle à v, soit proportionnelle à v².
En pratique, elle est proportionnelle à v pour des nombres de Reynolds "petits" et elle est proportionnelle à v² pour des nombres de Reynolds "grands"
Mais pour des nombres Reynolds "moyens", on peut avoir f = -k.v^a avec a dans [1 ; 2].
Une remarque pratique.
Si on fait des estimations sur les constantes de temps, en sachant très bien qu'on aura de faibles vitessse et donc qu'on se trouvera dans le cas a = 1 ... (à confirmer par les essais bien entendu)
Avec une bille en acier de diamètre 1 cm, on trouve tau = 0,03 s (environ)
et avec une bille en acier de diamètre 0,5 cm, on trouve tau = 0,0075 s (environ)
Il sera donc très difficile expérimentalement de relever fiablement la variation de vitesse en fonction du temps et en tirer des conclusions fiables (à cause des tau très petits).
Par contre, on peut voir que la vitesse limite est atteinte très rapidement ... et donc après seulement quelques cm de course.
La course jusque 5 tau sera d'environ 3 cm avec une bille d'acier de 1 cm de diamètre et de 1,5 cm avec une bille d'acier de 0,5 cm de diamètre.
Donc si on a un tube dont la longueur est > > 3 cm (par exemple 10 cm) , il devrait être possible assez précisément de mesurer les vitesses limites par les billes.
Ne pas faire les essais dans un tube dont le diamètre n'est pas bien plus grand que le diamètre des billes sous peine de fausser les résultats.
Ces quelques considérations devraient permettre de choisir la méthode la plus adéquate de mener les essais, ou; si on a choisi l'autre méthode, comprendre pourquoi on n'arrive pas à faire fiablement les mesures nécessaires, sauf si on dispose d'un système de prise de vue très sophistiqué avec une cadence (en images/s) permettant d'avoirs plusieurs prises de vue par constante de temps du système.
Si je ne trompe, 5 images par constante de temps demanderait, avec une bille en acier de 5 mm de diamètre, une cadence de 666 images/sec (25 fois plus qu'une caméra classique)
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