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Détente dans une turbine

Posté par
aua
21-01-25 à 19:56

Bonjour J'espère que mon message vous trouve en pleine forme !
Je viens de commencer machines thermiques et y a quelques trucs qui m'échappent et que je ne comprend pas en particulier dans cette exercice ! Merci d'avance pour votre aide !
Voici l'exercice !
De l'air, assimilé à un gaz parfait diatomique de masse molaire M = 29 g · mol−1, traverse une turbine calorifugée. Le débit de masse vaut Dm = 1,5 kg · s−1. Les conditions à l'entrée sont Pe = 12 bar, θe =700 °C. En sortie, on a Ps = 1,0 bar et θs = 280 °C.
1. Montrer que la capacité thermique massique isobare vaut cp = 1,0 kJ.K−1. kg−1
2. Déterminer la puissance fournie par la turbine à l'extérieur. Commenter son signe.
3. Rappeler l'expression des variations de l'entropie massique d'un gaz parfait en coordonnées T, P. Calculer la variation d'entropie massique de l'air au cours de la détente. L'évolution est-elle réversible ?
4. Quelle serait la température de sortie dans le cas isentropique ?
5. Comparer la puissance fournie par la turbine réelle à celle qui aurait été fournie, si la détente était isentropique. Proposer une définition du rendement isentropique de la turbine.
6. On modélise l'évolution réelle par une transformation polytropique d'exposant k : Pvk = Cte. Déterminer la valeur de k. Commenter cette démarche.

1-J'ai réussi a faire la premiere question avec la relation de Mayer et sachant que pour un gaz diatomique cv =3R/2M
2- je crois que je dois utiliser le premier principe industriel;
on a Dm.cp(Ts-Tf)=Pfluide+Pexterieur c est bien cela ?

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 19:57

Mon soucis si cela s'avèrent vrai c'est que je n'arrive pas a continuer pour séparer les deux

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 21:05

Bonsoir
Selon moi, le premier principe, valide en régime permanent pour un système ouvert, s'écrit, en utilisant l'indice 2 pour la sortie et l'indice 2 pour l'entrée :
Dm.(h2-h1)=Pth+P' avec :
h2-h1 : variation d'enthalpie massique. Si et seulement si le fluide est un gaz parfait, cela correspond à ton terme de gauche.
Pth puissance thermique reçue soit quantité de chaleur entrante par unité de temps. Valeur nulle pour une turbine calorifugée.
Pour les question sur l'entropie massique, tu peux te reporter à cette fiche disponible sur le forum : la suite de celle signalée précédemment :
Deuxième principe de la thermodynamique
P' : puissance technique soit puissance reçue (au sens algébriquedu terme) par le fluide.
Une turbine fournie de la puissance mécanique à l'extérieur : P'<0.

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 21:11

Je me suis mal relu pour ma première phrase. Il faut lire :
en utilisant l'indice 2 pour la sortie et l'indice 1 pour l'entrée :

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 21:41

Pourquoi la turbine fournie a l'exterieur l'opposé de la puissance fournie au fluide ?

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 22:34

P' représente la puissance reçue algébriquement par le fluide, puissance fournie par les parties mobiles de la machine au fluide. P'=0 pour une machine ne comportant pas de partie mobile : chaudière, détendeur...
P'>0 : cas des compresseurs par exemple : le fluide reçoit effectivement de la puissance des parties mobiles de la machine, cela se traduit par une augmentation de  l'enthalpie massique et de la pression du fluide.
P'<0 : cas des turbines par exemple : le fluide, en se détendant, fournie de la puissance aux parties mobiles de la machine qui se mettent à tourner et peuvent ainsi entraîner d'autres dispositifs : alternateurs par exemple. En supposant pour simplifier que la transmission entre compresseur et alternateur se fait sans perte de puissance, la puissance mécanique reçue par l'alternateur sera |P'|=-P'.
Ce sont les conventions de signes habituelles en thermodynamique.

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 21-01-25 à 23:34

Citation :
J'ai réussi a faire la premiere question avec la relation de Mayer et sachant que pour un gaz diatomique cv =3R/2M

Peut-être une simple faute de frappe... Pour un gaz parfait diatomique :

c_{v}=\dfrac{5R}{2M}

En utilisant la relation de Mayer :

c_{p}=\dfrac{7R}{2M}

Application numérique :

c_{P}=\dfrac{7*8,314}{2*29.10^{-3}}\approx1003J.K^{-1}.kg^{-1} valeur souvent arrondie à 1,0kJ.K-1.kg-1

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 00:09

vanoise @ 21-01-2025 à 22:34

P' représente la puissance reçue algébriquement par le fluide, puissance fournie par les parties mobiles de la machine au fluide. P'=0 pour une machine ne comportant pas de partie mobile : chaudière, détendeur...
P'>0 : cas des compresseurs par exemple : le fluide reçoit effectivement de la puissance des parties mobiles de la machine, cela se traduit par une augmentation de  l'enthalpie massique et de la pression du fluide.
P'<0 : cas des turbines par exemple : le fluide, en se détendant, fournie de la puissance aux parties mobiles de la machine qui se mettent à tourner et peuvent ainsi entraîner d'autres dispositifs : alternateurs par exemple. En supposant pour simplifier que la transmission entre compresseur et alternateur se fait sans perte de puissance, la puissance mécanique reçue par l'alternateur sera |P'|=-P'.
Ce sont les conventions de signes habituelles en thermodynamique.

Ahh okeyy, je vois merci !

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 00:49

2- on a la puissance fournie par la turbine qui est égale à Dm.cp(s-e)=0.63MW
le signe est positif.

3-\frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]
on a après calcul S= 0.15kJ.K-1.kg-1
donc l'evolution n'est pas réversible car S0

4- dans le cas d'une isentropie ( adiabatique et réversible)
S=0 \frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]=0 T_{is}=T_{e}.\left(\frac{P_{s}}{P_{e}} \right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma }}
Donc Ts=478K

5-Pis=-Dm.cp(Tis-Te)
\frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]
\frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]
Pis=0.74MW

On aissuperieur a Pr

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 00:53

Donc le rendement isentropique pourrait être défini comme le rendement d'une machine idéal qui n'effectue aucune perte d'énergie.
6- Je comprend pas trop c'est quoi le but de la question et c"est  quoi exactement une transformation polytropique.
Aussi je me dis je peut sortir le k avec le logarithme mais dans ce cas c'est quoi le but de la question ?

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 09:44

Également j'aimerais savoir s'il ya une méthode précise pour déterminer le rendement de chaque machines thermique. Presque à chaque fois je me plante. J'ai l'impression qu'il faudrait connaître comment la machine fonctionne pour calculer le rendement...

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 11:53

Citation :
Ahh okeyy, je vois merci !le signe est positif.

Pas sûr que tu ais bien compris ! J'ai expliqué dans mes messages précédents que P' est négatif pour une turbine et positif pour un compresseur ! D'ailleurs ici : (s-e)<0.
Citation :
donc l'evolution n'est pas réversible car S0

Imprécis : l'évolution étant adiabatique, la variation d'entropie est seulement égale à l'entropie de création ; or celle-ci est nulle si l'évolution est réversible et strictement positive si l'évolution est irréversible. Cela est longuement expliqué sur la fiche dont je t'ai fourni la référence. Petit détail : on utilise de préférence un "s" minuscule pour désigner une entropie massique et un "S" majuscule pour désigner l'entropie d'un système fermé.
Citation :
Donc le rendement isentropique pourrait être défini comme le rendement d'une machine idéal qui n'effectue aucune perte d'énergie.

C'est un peu cela. Plus précisément, c'est le quotient de la puissance mécanique réellement fournie sur la puissance mécanique que fournirait une détente isentropique pour les mêmes valeurs de la pression d'entrée et de la pression de sortie.
Pour le calcul de 5) : attention aux signes. Pour le rendement isentropique de la turbine calorifugée, tu devrais obtenir comme formule générale du rendement isentropique si le gaz est assimilé à un gaz parfait :
\eta_{i}=\dfrac{\left(T_{s}\right)_{r\acute{e}el}-T_{e}}{\left(T_{s}\right)_{isentropique}-T_{e}}
Citation :
c"est  quoi exactement une transformation polytropique.

C'est une transformation fictive, réversible, qui a même état d'entrée et même état de sortie que la transformation réelle. On peut trouver le nombre réel k qui vérifie entre l'entrée et la sortie :

\dfrac{T_{s}}{T_{e}}=\left(\frac{P_{s}}{Pe}\right)^{\frac{k-1}{k}}
Comme la transformation réelle auxquelles correspondent les valeurs de Te et Ts est adiabatique irréversible, on va obtenir : k.
La transformation polytropique doit vérifier la loi P.vk pour tous les états intermédiaires du gaz parfait entre l'entrée et la sortie.
Puisque le débit massique est le même et la variation d'enthalpie massique la même pour la transformation réelle et la transformation fictive polytropique, le premier principe conduit à :
P'réel=P'poly+Pthpoly
Les calculs conduisent à Pthpoly>0. Puisque la turbine est calorifugée, on considère que cette puissance correspond aux pertes par frottements internes.
Tout cela est bien long ! réfléchis tranquillement  et pose des questions supplémentaires si nécessaire.

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 13:05

vanoise @ 22-01-2025 à 11:53

Citation :
Ahh okeyy, je vois merci !le signe est positif.

Pas sûr que tu ais bien compris ! J'ai expliqué dans mes messages précédents que P' est négatif pour une turbine et positif pour un compresseur ! D'ailleurs ici : (s-e)<0.

Erreur de notation, désolé. Je voulais dire P fournie a l'extérieur par la turbine positif mais P'<0 vu que la turbine ne reçoit pas d'énergie

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 13:16

vanoise @ 22-01-2025 à 11:53


Citation :

Imprécis : l'évolution étant adiabatique, la variation d'entropie est seulement égale à l'entropie de création ; or celle-ci est nulle si l'évolution est réversible et strictement positive si l'évolution est irréversible. Cela est longuement expliqué sur la fiche dont je t'ai fourni la référence. Petit détail : on utilise de préférence un "s" minuscule pour désigner une entropie massique et un "S" majuscule pour désigner l'entropie d'un système fermé.

Je reprend
ds=\int \frac{\delta Qth}{T} + s_{c}
Or la transformation étant adiabatique. Qth=0
Donc ds=sc
Or si la transformation est réversible sc=0 or ds≠0 donc sc>0
Par consequent la transformation est irréversible.
Ps: merci beaucoup pour la fiche je viens de la finir

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 13:21

Citation :
\frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]

Tu calcules ainsi la variation d'entropie de n moles de gaz parfaits. La question 3 demande la variation d'entropie massique, en général notée s avec un "s" minuscule comme déjà écrit.

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 13:24

Citation :
P'<0 vu que la turbine ne reçoit pas d'énergie

oui mais plus précisément : une turbine fournit de la puissance et donc aussi de l'énergie à l'extérieur (par exemple à un alternateur pour produire de l'énergie électrique)

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 14:10

Citation :
j'aimerais savoir s'il y a une méthode précise pour déterminer le rendement de chaque machine thermique

Le rendement est un rapport toujours inférieur à 1 permettant d'évaluer l'écart entre le comportement réel (irréversible) et le comportement idéal (réversibilité).
Pour obtenir une valeur inférieure à 1, la définition change selon que l'on travaille sur une machine fournissant de l'énergie mécanique (turbine) ou en recevant (compresseur).
Pour un compresseur, pour un même taux de compression (\frac{P_s}{P_e}>1, le travail technique massique qu'il faut fournir au compresseur en cas d'irréversibilité(w'irr>0) est supérieur à celui qu'il faudrait fournir en cas de réversibilité (w'rev) ; d'où la définition du rendement du compresseur :

\eta_{i}=\dfrac{w'_{rev}}{w'_{irr}}=\frac{P'_{rev}}{P'_{irr}}
(même débit massique dans les deux cas pour que la formule fonctionne avec les puissances techniques P')
Pour une turbine, pour un même taux de détente (\frac{P_s}{P_e}<1) le travail technique massique fourni à l'extérieur en cas d'irréversibilité (w'irr<0) est de valeur absolue inférieure à la valeur absolue du travail technique massique qui serait fourni en cas de réversibilité (w'rev<0). Pour avoir un rendement inférieur à 1, on pose :

\eta_{i}=\dfrac{|w'_{irr}|}{|w'_{rev}|}=\frac{|P'_{irr}|}{|P'_{rev}|}
(même débit massique dans les deux cas pour que la formule fonctionne avec les puissances techniques P')
Conseil : plutôt que d'apprendre des formules par cœur : réfléchir, sachant qu'il faut obtenir un nombre compris entre zéro et 1 et sachant que l'irréversibilité est une situation réelle moins intéressante pratiquement que la situation idéale correspondant à la réversibilité.
Remarque : ce que je viens d'écrire concerne chaque machine étudiée indépendamment des autres machines de l'installation. Pour une installation globale comprenant plusieurs machines permettant au fluide de décrire un cycle (central thermique, réfrigérateur, pompe à chaleur...) on définit l'efficacité de l'installation  (facteur de performance) comme le rapport :

e=\dfrac{\text{quantité utile}}{\text{quantité coûteuse}}
Cette dernière remarque est peut-être prématurée par rapport à l'avancement de ton programme...

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 22:14

Je vois je vois!
Effectivement de manière générale on nous donne la formule du e ou du rendement mais je voulais savoir déterminer ça moi même

Posté par
aua
re : Détente dans une turbine 22-01-25 à 22:20

vanoise @ 22-01-2025 à 13:21

Citation :
\frac{n.\gamma .R}{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{T_{s}}{T_{e}} \right). \left(\frac{P_{e}}{P_{s}}\right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma}} \right]

Tu calcules ainsi la variation d'entropie de n moles de gaz parfaits. La question 3 demande la variation d'entropie massique, en général notée s avec un "s" minuscule comme déjà écrit.

\frac{r\gamma }{\gamma -1}.ln\left[\left(\frac{Ts}{Te} \right). \left(\frac{Pe}{Ps} \right)^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \right]

Posté par
vanoise
re : Détente dans une turbine 24-01-25 à 11:07

Ton expression de la variation d'entropie massique est correcte. L'application numérique conduit à une valeur positive comme tu l'as déjà justifié.



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