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Derivées partielles - expression d'une onde plane

Posté par
happy1 05-03-19 à 15:08

Bonjour,

On considère une onde plane d'expression:

$\vec{E}~=~ \vec{E_{0}} e^{ j(wt-\vec{k}.\vec{r})$

Nous devions montrer que:

$\vec{rot}(\vec{E})= -jk ~\wedge~ \vec{E}$

Avec : $\vec{k} =\begin{pmatrix}k_{x} \\ k_{y}\\ k_{z}\\ \end{pmatrix}$ et $\vec{r} =\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\\ \end{pmatrix}$

On a posé:

$\vec{ \nabla}~\wedge~ \vec{E}~= \begin{pmatrix} \frac{\partial E_{z}}{\partial y}- \frac{\partial E_{y} }{\partial z} \\ \frac{\partial E_{x} }{\partial z}- \frac{\partial E_{z} }{\partial x} \\ \frac{\partial E_{y} }{\partial x}- \frac{\partial E_{x} }{\partial y} \end{pmatrix} \\ \\ \; \; \; \; \; \; \;\; \; \; \; \; \; \; \; = \begin{pmatrix} -jk_{y} E_{z} + jk_{z }E_{y} \\ -jk_{z }E_{x} + jk_{x }E_{z} \\ -jk_{x} E_{y} + jk_{y} E_{x} \\ \end{pmatrix}$

J'avais cru comprendre que:

$\vec{E}~=~ \vec{E_{0}} ~e^{ j(wt)} \\ .\begin{pmatrix} e^{-jk_{x}x \\ e^{-jk_{y}y\\ e^{-jk_{z}z \\ \end{pmatrix}$

Et je ne vois pas pourquoi:

$\frac{\partial (\vec{E_{0}} ~e^{ j(wt - k_{z}z)} ) }{\partial y}$ , par exemple, vaut -jk_yE_z et non pas 0 ?

Merci d'avance pour votre aide

Posté par re : Derivées partielles - expression d'une onde plane 05-03-19 à 15:20

Bonjour

Il s'agit ici d'une onde plane polarisée rectilignement suivant la direction du vecteur $\overrightarrow{E_{o}}$ ; cette onde se propageant suivant la direction et le sens du vecteur $\overrightarrow{k}$ . Le vecteur champ $\overrightarrow{E}$ se propage tout en gardant constamment la direction du vecteur constant $\overrightarrow{E_{o}}$ . L'onde étant transversale :

$\overrightarrow{E_{o}}\perp\overrightarrow{k}$ ; cela se démontre en considérant $div\left(\overrightarrow{E}\right)=0$ en tout point et à chaque instant.

Tu n'utilises pas correctement les propriétés du produit scalaire :
$\\ \overrightarrow{E}=\overrightarrow{E_{o}}\cdot\exp\left[j\left(\omega.t-k_{x}.x-k_{y}.y-k_{z}.z\right)\right]$

Posté par re : Derivées partielles - expression d'une onde plane 05-03-19 à 16:16

Bonjour,

Merci de votre réponse !

Dans ce cas le champ $\vec{E}$ a une seule composante égale à $\vec{E_{0}}~exp(jw-k_{x}x-k_{y}y-k_{z}z)$ ?

Je suis désolée, je ne vois pas à quoi E_x, E_y et E_z correspondent ici

Posté par re : Derivées partielles - expression d'une onde plane 05-03-19 à 16:35

$E_{x}=E_{ox}\cdot\exp\left[j\left(\omega.t-k_{x}.x-k_{y}.y-k_{z}.z\right)\right] \\ \\ E_{y}=E_{oy}\cdot\exp\left[j\left(\omega.t-k_{x}.x-k_{y}.y-k_{z}.z\right)\right] \\ \\ E_{z}=E_{oz}\cdot\exp\left[j\left(\omega.t-k_{x}.x-k_{y}.y-k_{z}.z\right)\right]$
Pour une direction de propagation donnée caractérisé par le vecteur $\overrightarrow{k}$ et une polarisation donnée caractérisée par le vecteur $\overrightarrow{E_{o}}$ , il est toujours possible de faire tourner le repère d'étude de façon à amener l'axe (Ox) orienté selon $\overrightarrow{E_{o}}$ et l'axe (Oz) orienté selon $\overrightarrow{k}$ . Cela ne restreint absolument pas la généralité du problème tout en allégeant sérieusement l'expression du vecteur champ :

$\overrightarrow{E}=E_{o}\cdot\exp\left[j\left(\omega.t-k.z\right)\right].\overrightarrow{u_{x}}$

Posté par re : Derivées partielles - expression d'une onde plane 05-03-19 à 16:45

Merci infiniment, c'est parfaitement clair à présent !

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