Niveau maths sup

dérivée seconde

Posté par
sokse 02-04-16 à 01:17

Bonjour,
Soit f une fonction qui dépend de x.
la notation de la dérivée en maths est $f'(x)$ et celle de physique $df/dx$ .
La dérivée seconde : $f''(x)$ et celle de physique $d(df/dx)/dx = d^2f/dx^2$ .
Ce que je ne comprends pas c'est que quand je fais $f'(x)*f'(x)=f'(x)^2$ et en physique $(df/dx)*(df/dx) = (df/dx)^2= (df)^2/dx^2$ .
Alors que dans mon exercice c'est marqué que $(df/dx)*(df/dx) =d^2f/dx^2$ .
Je n'arrive pas a faire le rapprochement.
J'ai du mal a donner du sens aux notations en physique.

Posté par re : dérivée seconde 02-04-16 à 12:47

Bonjour
En math, la variable s'appelle toujours x alors qu'en physique les variables de dérivations varient d'un problème à l'autre : x, y, z, t , u.... d'où une notation plus explicite qui d'ailleurs est aussi utilisée en math.
$(df/dx)*(df/dx) = (df/dx)^2=(f'(x))^2$
cette égalité est correcte : il s'agit de deux manières différentes de noter le carré de la dérivée de f par rapport à x.
$(df/dx)*(df/dx) =d^2f/dx^2.$
Le carré de la dérivée première n'est pas, sauf cas très particuliers, égal à la dérivée seconde ! Ton exercice voulait peut-être exprimer le fait que dériver deux fois successivement f par rapport à x revient à calculer la dérivée seconde de f mais cette égalité est fausse...
En cinématique, cette dernière égalité reviendrait à dire que le carré de la vitesse est égal à l'accélération !

Posté par re : dérivée seconde 02-04-16 à 20:02

Merci je comprends mieux. Mais le problème est toujours la alors.
Voici le début de l'exercice :
"On considère l'équation d'onde a une dimension suivante : $(d^2f/dz^2)-(1/c^2)(d^2f/dt^2)=0$
Exprimer cette équation en fonction des variables $p=z-ct$ et $q= z+ct$ ."

Au tout début de la réponse il est ensuite écrit :

$((df/dz)-(1/c)(df/dt))*((df/dz)+(1/c)(df/dt))=0$

J'ai ensuite assumé que cela voulait dire que $(df/dz)*(df/dz) =d^2f/dz^2$ et pareil pour les t.
C'est peut etre la ou je me trompe alors ?

Posté par re : dérivée seconde 02-04-16 à 23:03

Où as-tu trouvé ce corrigé ???
Une méthode de démonstration fréquente à ce niveau est la suivante. Soit une fonction f de la variable : p = z-ct . Le cours de math sur les dérivées de ” fonction de fonction ” conduit à :

$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{df}{dp}\cdot\frac{\partial p}{\partial z}=\frac{df}{dp}\quad;\quad\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}=\frac{\partial\left(\frac{\partial f}{\partial z}\right)}{\partial z}=\frac{d\left(\frac{df}{dp}\right)}{dp}\cdot\frac{\partial p}{\partial z}=\frac{d^{2}f}{dp^{2}}\quad\text{puisque :\ensuremath{\quad\frac{\partial p}{\partial z}=1}}$

$\frac{\partial f}{\partial t}=\frac{df}{dp}\cdot\frac{\partial p}{\partial t}=-c\cdot\frac{df}{dp}\quad;\quad\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}=-c\frac{\partial\left(\frac{df}{dp}\right)}{\partial t}=-c\frac{d\left(\frac{df}{dp}\right)}{dp}\cdot\frac{\partial p}{\partial t}=c^{2}\cdot\frac{d^{2}f}{dp^{2}}\quad\text{puisque :\ensuremath{\quad\frac{\partial p}{\partial t}=-c}}$

En identifiant les deux expressions de $\frac{d^{2}f}{dp^{2}}$ , on obtient l'équation différentielle de d'Alembert :

$\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}=0$

Soit maintenant g une fonction de la variable q = z+ct. Un raisonnement analogue peut être fait en remplaçant c par (-c). Puisque le résultat final fait intervenir c au carré, on obtient aussi l'équation différentielle de d'Alembert :

$\frac{\partial^{2}g}{\partial z^{2}}-\frac{1}{c^{2}}\cdot\frac{\partial^{2}g}{\partial t^{2}}=0$

Conséquence : quant une grandeur physique scalaire Y : pression, élongation le long d'une corde élastique ou d'un ressort, coordonnée d'un vecteur champ électrique on magnétique... vérifie une équation différentielle de d'Alembert, on peut considérer que celle-ci peut s'écrire sous la forme :

$Y=f(z-ct)+g(z+ct)$

f(x-ct) correspond à une onde se propageant sans amortissement à la célérité c dans le sens positif suivant l'axe Oz ; g(z+ct) correspond à une onde se propageant sans amortissement à la célérité c dans le sens négatif suivant l'axe Oz...

Posté par re : dérivée seconde 04-04-16 à 00:56

Merci beaucoup je comprends mieux.

Posté par re : dérivée seconde 04-04-16 à 14:39

Bonjour

Citation :
Merci beaucoup je comprends mieux.

Comprendre "mieux" est effectivement un gros progrès !
Si tu as d'autres questions dont les réponses pourraient t'aider à "très bien" comprendre, surtout n'hésite pas !

Posté par re : dérivée seconde 04-04-16 à 18:17

Juste pour info.

Ne pas confondre d²f/dx² et (df)²/(dx)²

En physique, df et dx sont considérés comme des infiniments petits sur lesquels on peut faire toutes les opérations mathématiques élémentaires (division, multiplication, élévation au carré ...)

Très longtemps, cette manière de faire des physiciens a été "regardée de haut" par certains mathématiciens ... jusqu'à ce que dans les années 1960 , le mathématicien Robinson et quelques autres aient mis au point la théorie mathématique de "l'analyse non standard" qui définit (entre autres) la notion d'infiniment petit de manière rigoureuse...

Et ainsi, la pratique que les physiciens avaient de traiter les équations différentielles en considérant la notion d'infiniment petits (bien plus parlante) est maintenant "légitimée" par une théorie mathématique rigoureuse, l'ANS.
-----

Mais cela étant dit, on n'a pas (df/dz)*(df/dz) = d²f/dz²

Par contre (df/dz)*(df/dz) = (df/dz)² = (df)²/(dz)² (avec df et dz des infiniment petits)

Ceci fera hurler les matheux, ne connaissant pas l'ANS, mais c'est pourtant correct.
-----
Quelques infos sur l'ANC ici :

Posté par re : dérivée seconde 05-04-16 à 12:20

ANS et pas ANC.

Ce topic

Imprimer
Réduire / Agrandir
Pour plus d'options, connectez vous !
Fiches de physique

Fiches de physique - chimie

Rechercher

Espace membre

Zone membre

Pas de compte ?
Je m'inscris

Changer d'île

dérivée seconde

Seuls les membres peuvent poster sur le forum !

Ce topic

Fiches de physique