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Démonstration du principe d'incertitude

Posté par
ScientistH 23-02-18 à 20:12

Bonsoir,
je rencontre de la difficulté dans la compréhension de la démonstration du principe d'incertitude d'Heisenberg qui m'a été présenté en cours :

Soit deux opérateurs observables X et P tels que [X,P] = i $\hbar$ et | $\psi$ > un ket quelconque de E.

On introduit X'=X - <X> et P'=P - <P> d'où [X',P']=i $\hbar$ .
On pose | $\phi$ >=(X' + i $\lambda$ P')| $\psi$ > avec $\lambda$ un réel quelconque.
Soit < $\phi$ | $\phi$ >= < $\psi$ |(X'-i $\lambda$ P')(X'+i $\lambda$ P')| $\psi$ > $\geq$ 0

D'où $\lambda ^{2}<P'^{2}> - \lambda \hbar + <X'^{2}> \geq 0$
Il faut que le discriminant de l'équation du second ordre soit négatif donc :
$\hbar^{2}-4<P'^{2}><X'^{2}>\leq 0$
D'où $<P'^{2}><X'^{2}>\geq \frac{\hbar^{2}}{4}$ CQFD

Je n'arrive pas a comprendre pourquoi le discriminant de l'équation du second ordre doit forcément être négatif..
Je vous remercie d'avance de vos réponses, et je m'excuse si la réponse est évidente mais malgré m'y être penché dessus je n'ai su la trouver.
Bonne soirée.

Posté par re : Démonstration du principe d'incertitude 23-02-18 à 21:42

Bonsoir
Je dirais :
Parce que le trinôme ax²+bx+c
va changer de signe s'il a deux racines distinctes (>o)

Posté par re : Démonstration du principe d'incertitude 01-03-18 à 07:46

Bonjour,
puisque votre inégalité doit être vraie pour tout lambda.
Si le déterminant était strictement positif, il y aurait deux racines distinctes et donc une valeur de lambda entre les deux telle que "lambda²p²-lambda²h+x²" soit strictement négatif, ce qui serait absurde.

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